Методи математичної статистики
1. Введення
Математичної статистикою називається наука, що займається розробкою методів отримання, опису і обробки дослідних даних з метою вивчення закономірностей випадкових масових явищ.
В математичній статистиці можна виділити два напрямки: описову статистику і індуктивну статистику (статистичний висновок). Описова статистика займається накопиченням, систематизацією й поданням досвідчених даних в зручній формі. Індуктивна статистика на основі цих даних дозволяє зробити певні висновки щодо об'єктів, про які зібрані дані, або оцінки їх параметрів.
Типовими напрямками математичної статистики є:
1) теорія вибірок;
2) теорія оцінок;
3) перевірка статистичних гіпотез;
4) регресійний аналіз;
5) дисперсійний аналіз.
В основі математичної статистики лежить ряд вихідних понять без яких неможливе вивчення сучасних методів обробки дослідних даних. В ряд перших з них можна поставити поняття генеральної сукупності і вибірки.
При масовому промисловому виробництві часто потрібно без перевірки кожного виробу, що випускається встановити, чи відповідає якість продукції стандартам. Так як кількість продукції, що випускається дуже велике або перевірка продукції пов'язана з приведенням її у непридатність, то перевіряється невелике кількість виробів. На основі цієї перевірки потрібно дати висновок про всієї серії виробів. Звичайно не можна стверджувати, що всі транзистори з партії в 1 млн. штук придатні або непридатні, перевіривши один з них. З іншого боку, оскільки процес відбору зразків для випробувань і самі випробування можуть виявитися тривалими по часу і привести до великих витрат, то обсяг перевірки виробів повинен бути таким, щоб він зміг дати достовірне уявлення про всієї партії виробів, будучи мінімальних розмірів. З цією метою введемо ряд понять.
Вся сукупність досліджуваних об'єктів або експериментальних даних називається генеральною сукупністю. Будемо позначати через N число об'єктів або кількість даних, що становлять генеральну сукупність. Величину N називають об'ємом генеральної сукупності. Якщо N>> 1, тобто N дуже велике, то зазвичай вважають N = ВҐ.
Випадкової вибіркою або просто вибіркою називають частину генеральної сукупності, навмання відібрану з неї. Слово "навмання" означає, що ймовірності вибору будь-якого об'єкта з генеральної сукупності однакова. Це важливе припущення, однак, часто важко це перевірити на практиці.
Обсягом вибірки називають число об'єктів або кількість даних, що становлять вибірку, і позначають n . Надалі будемо вважати, що елементам вибірки можна приписати відповідно числові значення х 1 , х 2 , ... х n . Наприклад, в процесі контролю якості вироблених біполярних транзисторів це можуть бути вимірювання їх коефіцієнта посилення по постійному струму.
2. Числові характеристики вибірки
2.1 Вибіркове середнє
Для конкретної вибірки обсягу n її вибіркове середнє визначається співвідношенням
де х i - значення елементів вибірки. Звичайно потрібно описати статистичні властивості довільних випадкових вибірок, а не однієї з них. Це означає, що розглядається математична модель, яка передбачає досить велике кількість вибірок обсягу n. У цьому випадку елементи вибірки розглядаються як випадкові величини Х i , приймаючі значення х i з щільністю ймовірностей f (x), яка є щільністю ймовірностей генеральної сукупності. Тоді вибіркове середнє також є випадковою величиною рівною
Як і раніше будемо позначати випадкові величини прописними літерами, а значення випадкових величин - малими.
Середнє значення генеральної сукупності, з якої проводиться вибірка, будемо називати генеральним середнім і позначати m x . Можна очікувати, що якщо обсяг вибірки значний, то вибіркове середнє не буде помітно відрізнятися від генерального середнього. Оскільки вибіркове середнє є випадковою величиною, для неї можна знайти математичне сподівання:
Таким чином, математичне сподівання вибіркового середнього одно генеральному середньому. У цьому випадку говорять, що вибіркове середнє є незміщеною оцінкою генерального середнього. Надалі ми повернемося до цьому терміну. Так як вибіркове середнє є випадковою величиною, флуктуірующіх навколо генерального середнього, то бажано оцінити цю флуктуацію за допомогою дисперсії вибіркового середнього. Розглянемо вибірку, обсяг якої n значно менше обсягу генеральної сукупності N (n <
Випадкові величини Х i і X j (i В№ j) можна вважати незалежними, отже,
Підставимо отриманий результат у формулу для дисперсії:
де s 2 - дисперсія генеральної сукупності.
З цієї формули випливає, що зі збільшенням обсягу вибірки флуктуації середнього вибіркового близько середнього генерального зменшуються як s 2 /n. Проілюструємо сказане прикладом. Нехай мається випадковий сигнал з математичним очікуванням і дисперсією відповідно рівними m x = 10, s 2 = 9.
Відлік сигналу беруться в рівновіддалені моменти часу t 1 , t 2 , ... ,
X (t)
X 1
t 1 t 2 . . . t n t
Так як відліки є випадковими величинами, то будемо їх позначати X (t 1 ), X (t 2 ),. . . , X (t n ).
Визначимо кількість відліків, щоб середнє квадратичне відхилення оцінки математичного очікування сигналу не перевищило 1% його математичного очікування. Оскільки m x = 10, то потрібно, щоб З іншого боку тому чи Звідси отримуємо, що n Ві 900 відліків.
2.2 Вибіркова дисперсія
За вибірковими даними важливо знати не тільки вибіркове середнє, але й розкид вибіркових значень близько вибіркового середнього. Якщо вибіркове середнє є оцінкою генерального середнього, то вибіркова дисперсія повинна бути оцінкою генеральної дисперсії. Вибіркова дисперсія для вибірки, складається з випадкових величин визначається наступним чином
Використовуючи це уявлення вибіркової дисперсії, знайдемо її математичне сподівання
Таким чином ми отримали, що Це означає, що вибіркова дисперсія є зміщеною оцінкою генеральної дисперсії. Щоб отримати незміщене оцінку, потрібно величину помножити на тоді вибіркова дисперсія має вигляд
Отже ми отримали наступний результат. Якщо в результаті n незалежних вимірювань випадкової величини Х з невідомим математичним очікуванням і дисперсією нам потрібно за отриманими даними визначити ці параметри, то слід користуватися наступними наближеними оцінками
У разі, якщо відомо математичне сподівання генеральної сукупності m x , то вибіркову дисперсію слід обчислювати за формулою
яка також є незміщеною оцінкою.
3. Статистичний ряд. Статистична функція розподілу
Нехай є результати вимірювання випадкової величини Х з невідомим законом розподілу, які представлені у вигляді таблиці:
