Олійник О.А.
Московський державний університет ім. М.В. Ломоносова
1996
В роботі викладені характерні особливості теорії диференціальних рівнянь. Ця теорія виникла з додатків і в даний час найтіснішим чином пов'язана з додатками. Вона має великий вплив на розвиток інших областей математики.
Теорія диференціальних рівнянь є одним з найбільших розділів сучасної математики. Щоб охарактеризувати її місце в сучасній математичній науці, перш за все необхідно підкреслити основні особливості теорії диференційних рівнянь, що складається з двох великих областей математики: теорії звичайних диференціальних рівнянь і теорії рівнянь з приватними похідними.
Перша особливість - це безпосередній зв'язок теорії диференціальних рівнянь з додатками. Характеризуючи математику як метод проникнення в таємниці природи, можна сказати, що основним шляхом застосування цього методу є формування і вивчення математичних моделей реального світу. Вивчаючи небудь фізичні явища, дослідник передусім створює його математичну ідеалізацію або, іншими словами, математичну модель, тобто, нехтуючи другорядними характеристиками явища, він записує основні закони, що керують цим явищем, в математичній формі. Дуже часто ці закони можна виразити у вигляді диференціальних рівнянь. Такими виявляються моделі різних явищ механіки суцільного середовища, хімічних реакцій, електричних і магнітних явищ та ін
Досліджуючи отримані диференціальні рівняння разом з додатковими умовами, які, як правило, задаються у вигляді початкових і граничних умов, математик отримує відомості про події явищі, іноді може дізнатися його минуле і майбутнє. Вивчення математичної моделі математичними методами дозволяє не тільки отримати якісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реального процесу, але і дає можливість проникнути в суть фізичних явищ, а іноді передбачити і нові фізичні ефекти. Буває, що сама природа фізичного явища підказує і підходи, і методи математичного дослідження. Критерієм правильності вибору математичної моделі є практика, зіставлення даних математичного дослідження з експериментальними даними.
Для складання математичної моделі у вигляді диференціальних рівнянь потрібно, як правило, знати тільки локальні зв'язки і не потрібна інформація про все фізичному явище в цілому. Математична модель дає можливість вивчати явище в Загалом, передбачити його розвиток, робити кількісні оцінки змін, відбуваються в ньому з часом. Нагадаємо, що на основі аналізу диференціальних рівнянь так були відкриті електромагнітні хвилі, і тільки після експериментального підтвердження Герцем фактичного існування електромагнітних коливань стало можливим розглядати рівняння Максвелла як математичну модель реального фізичного явища.
Як відомо, теорія звичайних диференціальних рівнянь почала розвиватися в XVII столітті одночасно з виникненням диференціального й інтегрального обчислення. Можна сказати, що необхідність вирішувати диференціальні рівняння для потреб механіки, тобто знаходити траєкторії рухів, у свою чергу, стала поштовхом для створення Ньютоном нового обчислення. Органічний зв'язок фізичного і математичного ясно проявилася в методі флюксій Ньютона. Закони Ньютона являють собою математичну модель механічного руху. Через звичайні диференціальні рівняння йшли додатки нового числення до завданням геометрії і механіки; при цьому вдалося вирішити завдання, які протягом довгого часу не піддавалися рішенню. У небесній механіці виявилося можливим не тільки отримати і пояснити вже відомі факти, але і зробити нові відкриття (Наприклад, відкриття Левер'є в 1846 році планети Нептун на основі аналізу диференціальних рівнянь).
Звичайні диференціальні рівняння виникають тоді, коли невідома функція залежить лише від однієї незалежної змінної. Співвідношення між незалежною змінною, невідомою функцією та її похідними до деякого порядку становить диференціальне рівняння. В даний час теорія звичайних диференціальних рівнянь являє собою багату, широко розгалужену теорію. Одними з основних завдань цієї теорії є існування у диференціальних рівнянь таких рішень, які задовольняють додатковим умовам (початкові дані Коші, коли потрібно визначити рішення, приймає задані значення в деякій точці і задані значення похідних до деякого кінцевого порядку, крайові умови та інші), єдиність рішення, його стійкість. Під стійкістю рішення розуміють малі зміни рішення при малих змінах додаткових даних завдання і функцій, визначають само рівняння. Важливими для додатків є дослідження характеру рішення, або, як кажуть, якісного поведінки рішення, знаходження методів чисельного розв'язання рівнянь. Теорія повинна дати в руки інженера і фізика методи економного та швидкого обчислення рішення.
Рівняння з приватними похідними почали вивчатися значно пізніше. Потрібно підкреслити, що теорія рівнянь з приватними похідними виникла на основі конкретних фізичних задач, що приводять до дослідження окремих рівнянь з приватними похідними, що одержали назву основних рівнянь математичної фізики. Вивчення математичних моделей конкретних фізичних завдань призвело до створенню в середині XVIII століття нової гілки аналізу - рівнянь математичної фізики, яку можна розглядати як науку про математичних моделях фізичних явищ.
Основи цієї науки були закладені працями Д'Аламбера (1717 - 1783), Ейлера (1707 - 1783), Бернуллі (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 - 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фур'є (1768 - 1830) та інших вчених. Цікаво те, що багато з них були не тільки математиками, але і астрономами, механіками, фізиками. Розроблені ними при дослідженні конкретних задач математичної фізики ідеї та методи виявилися застосовними до вивчення широких класів диференціальних рівнянь, що і послужило в кінці XIX століття основою для розвитку загальної теорії диференціальних рівнянь.
Найважливішими рівняннями математичної фізики є: рівняння Лапласа, рівняння теплопровідності, хвильове рівняння.
Тут ми припускаємо, що функція u залежить від t і трьох змінних x1, x2, x3. Рівняння з частинними похідними - це співвідношення між незалежними змінними, невідомою функцією та її приватними похідними до деякого порядку. Аналогічно визначається система рівнянь, коли є декілька невідомих функцій.
Хіба не дивним є той факт, що таке просте за формою рівняння, як рівняння Лапласа, містить у собі величезне багатство чудових властивостей, має найрізноманітніші додатки, про нього написано багато книги, йому присвячені багато сотень статей, опублікованих протягом останніх століть, і, незважаючи на це, залишилося ще багато важких пов'язаних з ним невирішених проблем.
До вивченню рівняння Лапласа приводять найрізноманітніші фізичні завдання абсолютно різної природи. Це рівняння зустрічається в задачах електростатики, теорії потенціалу, гідродинаміки, теорії теплопередачі і багатьох інших розділах фізики, а також в теорії функцій комплексного змінного і в різних областях математичного аналізу. Рівняння Лапласа є найпростішим представником широкого класу так званих еліптичних рівнянь.
Тут, може бути, доречно згадати слова А. Пуанкаре: "Математика - це мистецтво давати різним речам одне найменування ". Ці слова є виразом того, що математика вивчає одним методом, за допомогою математичної моделі, різні явища дійсного світу.
Так само як і рівняння Лапласа, важливе місце в теорії рівнянь з приватними похідними і її застосуваннях займає рівняння теплопровідності. Це рівняння зустрічається в теорії теплопередачі, в теорії дифузії і багатьох інших розділах фізики, а також відіграє важливу роль в теорії ймовірностей. Воно є найбільш простим представником класу так званих параболічних рівнянь. Деякі властивості рішень рівняння теплопровідності нагадують властивості рішень рівняння Лапласа, що знаходиться у згоді з їх фізичним зміс...
