Термін "Поняття" зазвичай застосовується для позначення уявного образу деякого класу речей, процесів, відносин об'єктивної реальності або нашого свідомості.
Математичні поняття відображають у нашому мисленні певні форми і відносини Насправді, абстраговані від реальних ситуацій.
Кожне поняття поєднує в собі клас об'єктів (речей, відносин) - обсяг цього поняття - і характеристичне властивість, притаманну всім об'єктам цього класу, і тільки їм, - зміст цього поняття. Наприклад, поняття "Трикутник" поєднує в собі клас. Всіляких трикутників (Обсяг цього поняття) і характеристичне властивість - наявність трьох сторін, трьох вершин, трьох кутів (зміст поняття); поняття "рівняння" з'єднує в собі клас всіляких рівнянь (обсяг поняття) і характеристичне властивість - рівність, що містить одну або кілька змінних (зміст поняття).
Зміст поняття розкривається за допомогою визначення, обсяг - за допомогою класифікації. Допомогою визначення і класифікації окремі поняття організовуються в систему взаємопов'язаних понять.
Формування понять - складний психологічний процес, що починається з освіти найпростіших форм пізнання - відчуттів - і протікає часто за такою схемою: відчуття - сприйняття - уявлення - поняття.
Зазвичай поділяють цей процес на два ступені: чуттєву, що складається в освіті відчуттів, сприйняття і уявлення, і логічну, яка полягає в переході від уявлення до поняття за допомогою узагальнення і абстрагування.
Чуттєва щабель у процесі формування понять відповідає першому етапу шляху пізнання взагалі, тобто "живому спогляданню", і тому її здійснення вимагає широкого застосування наочності. Якщо учневі ніколи не показували модель куба або предмети, що мають форму куба, то у нього не може утворитися уявлення, а отже, і поняття куба.
Процес формування понять буде ефективним, якщо він орієнтує учнів на узагальнення і абстрагування істотних ознак (характеристичного властивості) формованого поняття.
Розглянемо процес формування понять на прикладі поняття куба.
Дітям (6-7років) показують багато предметів, що відрізняються формою, розмірами, забарвленням, матеріалом, з якого вони зроблені, причому таких, що одні з них мають форму куба, а інші ні. Діти, після того як їм показують на одне з цих тіл і кажуть, що це куб, безпомилково відбирають всі ті тіла, які мають таку ж форму, нехтуючи відмінностями, що стосуються розміру, забарвлення, матеріалу. Тут виділення з класу предметів підкласу, ототожнення тел проводиться за одному ще недостатньо проаналізувати ознаки - зовнішній формі. Діти ще не знають властивостей куба, вони розпізнають його тільки по формі.
Подальша робота по формуванню поняття куба полягає в аналізі цієї форми з метою з'ясування її властивостей. Учням пропонують шляхом спостереження знайти, що є спільного у всіх відібраних тіл, що мають форму куба, чим вони відрізняються від решти. Встановлюється, що у кожного куба 8 вершин, 6 граней. Але у деяких тіл, які ми не віднесли до кубів, теж 8 вершин і 6 граней. Виявляється, у куба всі грані - квадрати (ця робота зазвичай проводиться після аналогічної роботи по виділенню класу квадратів з безлічі плоских фігур).
Залишається один крок до утворення поняття куба - перехід від уявлення до поняття шляхом абстрагування, тобто відділення загальних властивостей від г ^ рочіх, несуттєвих. Зрозуміло, на початковому етапі навчання не можна ще говорити про повне абстрагуванні цих властивостей, у дітей ще не утворюється поняття куба в чистому вигляді, вони ще не визначають куб і протиставляють його прямокутному паралелепіпеда з різними вимірами. Надалі ж, коли буде сконструйована логічно впорядкована система геометричних понять (в рамках систематичного курсу геометрії), учні дізнаються, що куб - це вид прямокутного паралелепіпеда. У цьому - діалектика розвитку понять.
Наведений приклад показує, що процес формування понять, як правило, тривалий процес, що сприяє розвитку узагальнюючої і абстрагує діяльності учнів.
Однак формування математичних понять не завжди протікає за наведеною вище схемою, що починається з відчуттів. Зокрема, коли сформоване поняття пов'язане, в тій чи іншій формі, з категорією нескінченності (як, наприклад, поняття прямої, площини, щільності безлічі раціональних чисел, межі та ін), то чуттєва ступінь відіграє меншу роль, так як ми не в змозі сприймати нескінченне (ні в якій формі), і наочність із засобу, що сприяє формуванню поняття, іноді стає гальмуючим фактором.
Наприклад, нескінченність безлічі раціональних чисел, що лежать між будь-якими двома раціональними числами, не підкріплюється, а, навпаки, "спростовується" конкретним сприйняттям кінцевого відрізка, що містить це безліч. Властивість щільності безлічі раціональних чисел не можна виявити дослідним шляхом, воно не підтверджується наочними геометричними уявленнями, а встановлюється логічно. Цей та інші численні приклади підтверджують висновки наших психологів про те, що сприйняття наочного матеріалу у силу об'єктивних особливостей цього матеріалу може відігравати не лише позитивну, але і негативну роль.
Заключним етапом формування поняття, як правило, є його визначення.
В математики і в навчанні математиці застосовуються різні способи визначення понять.
Найбільш часто, особливо в навчанні геометрії, зустрічається визначення "через найближчий рід і видову відмінність ". Прикладом такого визначення є наступне: Прямокутник є паралелограм з прямим кутом. Як видно, це визначення складається з двох частин: "прямокутник" - визначуваний поняття і "паралелограм з прямим кутом" - визначальне поняття. Зв'язка "є" (іноді замість "прямокутник є ..." говорять "прямокутником називається ...") означає тут, що термін "Прямокутник" (знову введений) позначає те ж поняття, що і вираз "паралелограм з прямим кутом", складене з раніше вже відомих термінів ("паралелограм", "прямий кут").
Аналізуючи б поняття "паралелограм з прямим кутом", виділяємо поняття "паралелограм" (найближчий рід) і властивість "наявність прямого кута "(видова відмінність). Назва "найближчий рід" виправдано тим, що не виділено інше поняття, обсяг якого включається в безліч паралелограмів і включає безліч прямокутників. Якби ми визначили прямокутник як чотирикутник, у якого протилежні попарно паралельні й мається прямий кут, то ми отримали б, як видно, більш громіздке визначення саме тому, що поняття "Чотирикутник" не є найближчим родом для прямокутника (Мається поняття "паралелограм", обсяг якого включається в безліч чотирикутників і включає безліч прямокутників), і тому ускладнилося характеристичне властивість (видова відмінність).
Загальна схема визначення "через найближчий рід і видову відмінність" може бути записана на мові множин (класів).:
В = {х | Х А і Р (х)}
(клас В складається з об'єктів х, що належать А - найближчому роду - і володіють властивістю Р - видовим відзнакою).
В нашому прикладі В - визначуваний клас прямокутників (або властивість "бути прямокутником "), А - клас паралелограмів (або властивість" бути паралелограмом "), Р - властивість" наявність прямого кута ".
Таке визначення є явним визначенням, в якому чітко (явно) виділені визначуване і визначальне поняття. Воно дозволяє нам замінити при необхідності одне поняття іншим. Дуже часто такою заміною користуємося в доказах теорем.
Однак не всі математичні поняття можуть визначатися таким чином. Процес формально-логічного визначення, як видно з наведеного вище прикладу, є процес зведення одного поняття до іншого, з більш широким обсягом, другого - до третьому, з ще більш широким обсягом, і т. д. Процес відомості не може бути нескінченним. Повинні бути деякі вихідні, початкові поняття, які неопределяеми через інші поняття даної теорії, так як їм не передують ніякі інші поняття цієї теорії. У процесі навчання повинні створюва...
