В Залежно від умов зовнішнього середовища і ступеня інформативності особи приймаючої рішення (ОПР) проводиться наступна класифікація завдань прийняття рішень:
а) в умовах ризику;
б) в умовах невизначеності;
в) в умовах конфлікту або протидії (активного супротивника).
Теорія корисності та прийняття рішень.
Прийняття рішень в умовах ризику.
Критерій очікуваного значення.
Використання критерію очікуваного значення обумовлено прагненням максимізувати очікувану прибуток (або мінімізувати очікувані витрати). Використання очікуваних величин припускає можливість багаторазового вирішення однієї і тієї ж задачі, поки не будуть отримані досить точні розрахункові формули. Математично це виглядає так: нехай Х-випадкова величина з математичним очікуванням MX і дисперсией DX. Якщо x 1 , x 2 , ..., x n - значення випадкової величини (с.в.) X, то середнє арифметичне їх (вибіркове середнє) значень має дисперсію. Таким чином, коли n В® ВҐ
В® 0 і В® MX.
Іншими словами при достатньо великому обсязі вибірки різниця між середнім арифметичним і математичним очікуванням прагне до нуля (так звана гранична теорема теорії ймовірності). Отже, використання критерію очікуване значення справедливе тільки у разі, коли одне і теж рішення доводиться застосовувати досить багато раз. Вірно і зворотне: орієнтація на очікування буде приводити до невірних результатів, для рішень, які доводиться приймати невелике число разів.
Приклад 1. Потрібно прийняти рішення про те, коли необхідно проводити профілактичний ремонт ПЕОМ, щоб мінімізувати втрати через несправність. У разі якщо ремонт буде виробляється занадто часто, витрати на обслуговування будуть великими при малих втратах через випадкових поломок.
Так як неможливо передбачити заздалегідь, коли виникне несправність, необхідно знайти ймовірність того, що ПЕОМ вийде з ладу в період часу t. У цьому і полягає елемент "ризику".
Математично це виглядає так: ПЕОМ ремонтується індивідуально, якщо вона зупинилася через поломки. Через T інтервалів часу виконується профілактичний ремонт усіх n ПЕОМ. Необхідно визначити оптимальне значення Т, при якому мінімізуються загальні витрати на ремонт несправних ПЕОМ та проведення профілактичного ремонту в розрахунку на один інтервал часу.
Нехай р t - ймовірність виходу з ладу однієї ПЕОМ в момент t, а n t - випадкова величина, що дорівнює числу всіх вийшли з ладу ПЕОМ в той же момент. Нехай далі З 1 - витрати на ремонт несправної ПЕОМ і С 2 - витрати на профілактичний ремонт однієї машини.
Застосування критерію очікуваного значення в даному випадку виправдане, якщо ПЕВМ працюють протягом великого періоду часу. При цьому очікувані витрати на один інтервал складуть
ОЗ =,
де M (n t ) - математичне очікування числа вийшли з ладу ПЕОМ в момент t. Так як n t має біноміальний розподіл з параметрами (n, p t ), то M (n t ) = np t . Таким чином
ОЗ =
Необхідні умови оптимальності T * мають вигляд:
ОЗ (T * -1) Ві ОЗ (T * ),
ОЗ (T * +1) Ві ОЗ (T * ).
Отже, починаючи з малого значення T, обчислюють ОЗ (T), поки не будуть задоволені необхідні умови оптимальності.
Нехай З 1 = 100; С 2 = 10; n = 50. Значення p t мають вигляд:
T
р t
ОЗ (Т)
1
0.05
0
2
0.07
0.05
375
3
0.10
0.12
366.7
4
0.13
0.22
400
5
0.18
0.35
450
T * В® 3, ОЗ (Т * ) В® 366.7
Отже профілактичний ремонт необхідно робити через T * = 3 інтервалу часу.
Критерій "очікуване значення - дисперсія"
Критерій очікуваного значення можна модифікувати так, що його можна буде застосувати і для рідко повторюваних ситуацій.
Якщо х - с. в. з дисперсією DX, то середнє арифметичне має дисперсію, де n - число Слоган в. Отже, якщо DX зменшується, і ймовірність того, що близько до MX, збільшується. Отже, доцільно ввести критерій, в якому максимізація очікуваного значення прибутку поєднується з мінімізацією її дисперсії.
Приклад 2. Застосуємо критерій "очікуване значення - дисперсія" для прикладу 1. Для цього необхідно знайти дисперсію витрат за інтервал часу, тобто дисперсію
з Т =
Т.к. n t , t = - с.в., то з Т також с.в. С.в. n t має біноміальний розподіл з M (n t ) = np t і D (n t ) = np t (1-p t ). Отже,
D (з Т ) = D () = D () =
= == N {-},
де З 2 n = const.
З прикладу 1 випливає, що
М (з Т ) = М (з (Т)).
Отже шуканим критерієм буде мінімум виразу
М (з (Т)) + До D (з Т ).
Зауваження. Константу "до" можна розглядати як рівень не схильності до ризику, тому "До" визначає "ступінь можливості" дисперсії Д (з Т ) по відношенню до математичному очікуванню. Наприклад, якщо підприємець, особливо гостро реагує на великі негативні відхилення прибутку вниз від М (з (Т)), то він може вибрати "до" значно більше 1. Це надає більшої ваги дисперсії і призводить до вирішення, уменьшающему ймовірність великих втрат прибутку.
При к = 1 отримуємо задачу
За даними з прикладу 1 можна скласти таку таблицю
Т
p t
p t 2
М (з (Т)) + D (з (Т))
1
0.05
0.0025
0
0
500.00
2
0.07
0.0049
0.05
0.0025
6312.50
3
0.10
0.0100
0.12
0.0074
6622.22
4
0.13
0.0169
0.22
0.0174
6731.25
5
0.18
0.0324
0.35
0.0343
6764.00
З таблиці видно, що профілактичний ремонт необхідно робити протягом кожного інтервалу Т * = 1.
Кри...
