Пряма і окружність
Пряма і окружність - дві найбільш прості і разом з тим найбільш чудові за своїми властивостями криві. Будь-яка людина знайомий з прямою і колом більше, ніж з іншими кривими. Але нехай він не думає, що йому добре відомі всі найважливіші властивості прямих і кіл. Чи знає він, наприклад, що якщо вершини двох трикутників АВС і A'B'C 'лежать на трьох прямих, що перетинаються в одній точці 5 (рис. 1), то тоді три точки М, К., L перетину відповідних сторін трикутників АВ з ​​А'В ', нд з В'С' і АС з А'С 'повинні знаходитися на одній і тій же прямій?
Рис. 1. Рис. 2.
Читачеві, звичайно, відомо, що точка М, що рухається по площині, залишаючись на рівних відстанях від двох нерухомих точок F 1 і F 2 тій же площині, тобто так, що MF 1 = MF 2 ; описує пряму (рис. 2). Але, ймовірно, він затрудняється відповісти, яку криву опише точка М, якщо її відстань до точки F 1 буде в певне число разів перевершувати відстань до точки F 2 (наприклад, удвічі, як на рис. 3). Виявляється, що цієї кривої є коло. Отже, якщо точка М рухається по площині так, що її відстань до однієї з двох нерухомих точок F 1 і F 2 площині буде змінюватися пропорційно відстані до іншої точки:
Рис. 3.
MF 1 = k MF 2 ,
то М буде описувати або пряму (Коли коефіцієнт пропорційності k дорівнює одиниці), або окружність (коли коефіцієнт пропорційності відмінний від одиниці).
Рис. 4.
Розглянемо криву, описувану точкою М так, що сума відстаней цієї точки до двох нерухомих точок F 1 і F 2 залишається незмінною. Візьмемо нитка, кінці її прив'яжемо до двох шпильок і застромимо ці шпильки в аркуш паперу, залишаючи спочатку нитка ненатягнута. Якщо відтягнути тепер нитка за допомогою вертикально поставленого олівця і потім пересувати олівець, злегка придавлюючи його до папері і стежачи за тим, щоб нитка була натягнутою (рис. 4), то вістрі М олівця опише криву овальної форми (схожу на сплющений коло); вона називається еліпсом.
Щоб отримати повний еліпс, доведеться перекинути нитку на іншу сторону від шпильок, після того як буде описана одна половина еліпса. Очевидно, що сума відстаней від вістря М олівця до шпилькових проколів F 1 і F 2 залишається незмінною в усі час руху; ця сума дорівнює довжині нитки.
Рис. 5.
Проколи шпильок відзначають на папері дві точки, звані фокусами еліпса. Слово фокус в перекладі з латинської означає В«вогнищеВ», В«вогоньВ»; воно виправдовується наступним чудовим властивістю еліпса.
Якщо зігнути вузьку смужку добре відполірованого металу по дузі еліпса і помістити точкове джерело світла (В«вогоньВ») в одному фокусі, то промені світла, відбившись від смужки, зберуться в іншому фокусі; тож і в другому фокусі буде також видно В«вогоньВ» - Зображення першого (рис. 5.).
циклоїди
Докладемо до нижнього краю класної дошки лінійку і будемо котити по ній обруч або круг (картонний або дерев'яний), притискаючи його до лінійки і до дошки. Якщо прикріпити до обруча або колу шматок крейди (В точці дотику його з лінійкою), то крейда буде викреслювати криву (Рис. 37), звану циклоїдою (що по-грецьки означає В«колоподібнаВ»). Одному обороту обруча відповідає одна В«аркаВ» циклоїди MM'M'' N ', якщо обруч буде котитися далі, то будуть виходити ще і ще арки тієї ж циклоїди.
Рис. 6.
Щоб побудувати на папері наближено одну арку циклоїди, описану при коченні обруча діаметром, рівним, наприклад, трьом сантиметрам, відкладемо на прямій відрізок, рівний 3х3, 14 = 9,42 см.
. Одержимо відрізок, довжина якого дорівнює довжині обода обруча, тобто довжині окружності діаметром у три сантиметри. Розділимо далі цей відрізок на деяке число рівних частин, наприклад на 6, і для кожної точки ділення зобразимо наш обруч в тому його положенні, коли він спирається саме на дану точку (рис. 38), занумерувати ці положення цифрами:
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Щоб перейти з одного положення в сусіднє, обруч повинен обернутися на одну шосту повного обороту ^ так як відстань між сусідніми точками ділення одно шостий частини кола). Тому якщо в положенні 0 крейда буде знаходитися в точці М 0 , то в положенні 1 він буде лежати в точці M 1 - на одній шостій окружності від точки дотику, в положенні 2 - в точці М 2 - на дві шостих від точки дотику і т. д. Щоб отримати точки M 1 , M 2 , М 3 і т.д., потрібно лише виробляти зарубки відповідної окружності, починаючи від точки дотику, радіусом, рівним
Рис. 7.
1,5 см, причому в положенні 1 потрібна одна зарубка, в положенні 2 - дві зарубки, виконані одна за одною, в положенні 3 - три зарубки і т. д. Тепер для креслення циклоїди залишається з'єднати точки
М 0 , M 1 , М 2 , М 3 , M 4 , M 5 , M 6
плавною кривою (на око).
Крива найкоротшого спуску
Серед багатьох чудових властивостей циклоїди відзначимо одне, через якого вона заслужила голосно звучить мудроване назву: В«брахістохронаВ». Ця назва складається з двох грецьких слів, що означають В«найкоротшийВ» і В«часВ».
Розглянемо таке питання: яку форму слід надати добре відшліфованому металевому жолобу, що з'єднує дві задані точки А і В (рис. 8.), щоб полірований металевий кулька скочувався з цього жолобу з точки А в точку В у найкоротший час? На перший погляд здається, що потрібно зупинитися на прямолінійній жолобі, так як тільки вздовж нього кульку пройде найкоротший шлях від А до В. Однак мова йде не про найкоротшому шляху, а про найкоротший часу; час же залежить не тільки від довжини шляху, але і від швидкості, з якою біжить кульку. Якщо жолоб прогнути вниз, то його частина, починаючи від точки А, буде крутіше опускатися вниз, ніж у випадку прямолінійного жолоби, і кулька, падаючи по
Рис. 8.
нього, придбає швидкість більшу, ніж на ділянці такої ж довжини прямолінійного жолоби. Але якщо зробити початкову частину дуже крутий і порівняно довгою, то тоді частина, що примикає до точки В, буде дуже пологою і також порівняно довгою; першу частину кулька пройде швидко, Друга дуже повільно і кулька може запізнитися з приходом в точку
Рис. 9.
В. Отже, жолобу, мабуть, потрібно надавати увігнуту форму, але робити вигин не дуже значним.
Італійський фізик і астроном Галілей (1564 - 1642) думав, що жолоб найкоротшого часу потрібно вигинати по дузі кола. Але швейцарські математики брати Бернуллі близько трьохсот років тому довели точним розрахунком, що це не так і що жолоб потрібно вигинати по дузі циклоїди (Перекинутої вниз, рис. 9.). З тих пір циклоїда і заслужила прізвисько брахістохрони, а докази Бернуллі послужили, початком нової галузі математики - варіаційного числення. Останнє займається відшуканням виду кривих, для яких та чи інша цікавить нас величина досягає свого найменшого (а в деяких питаннях - найбільшого) значення.
Спіраль Архімеда
Уявімо нескінченно довгу секундну стрілку, по якій, починаючи від центру циферблату, невтомно біжить маленький жучок з постійною швидкістю v см/с. Через хвилину жучок буде на відстані 60v см від центру, через дві - 120v і т.д. Взагалі, через t секунд після початку пробігу відстань жучка від центру буде одно vt см. За цей час стрілка повернеться на кут, містить 6 t В° (адже за одну секунду вона встигає повернутися на кут 360 В°: 60 = 6 В°). Тому положення жучка на площині циферблата через будь-яке число t секунд після початку руху знаходиться так. Треба відкласти від початкового положення стрілки в напрямку її...
