Курсова робота
Виконала студентка факультету математики 4 курс 4 група Клочанова Ольга Михайлівна
Російський державний педагогічний університет ім. А.І. Герцена
Санкт-Петербург
2002
Введення.
Історія науки показує, що логічна структура і зростання кожної математичної теорії, починаючи з певного етапу її розвитку, стають все в більшу залежність від використання математичної символіки і її удосконалення.
Коли індійці в V столітті н. е.. ввели знак нуля, вони змогли залишити порозрядного систему числення і розвинути абсолютну позиційну десяткову систему числення, перевагу якій за рахунку якщо і не усвідомлюють, то повсякденно використовують сотні мільйонів людей. Алгебра та аналітична геометрія зобов'язані багатьом того, що Вієт і Декарт розробили основи алгебраїчного числення. Введені Лейбніцем позначення похідної та інтеграла допомогли розвинути диференціальне та інтегральне числення; задачі на обчислення площ, об'ємів, роботи сили і т. п., вирішення яких раніше було доступно тільки першокласним математикам, стали вирішуватися майже автоматично. Завдяки цьому позначення Лейбніца отримали широке поширення і проникли в усі розділи науки, де використовується математичний аналіз.
Приклад з позначенням похідної та інтеграла особливо яскраво підтверджує правильність зауваження Л. Карно, що в математиці В«символи не є тільки записом думки, засобом її зображення і закріплення, - ні, вони впливають на саму думку, вони, до певної міри, направляють її, і буває досить перемістити їх на папері, згідно відомим дуже простим правилам, для того, щоб безпомилково досягти нових істин В».
В ніж укладено об'єктивний зміст математичної символіки? Чим пояснюється значення символіки в математиці?
Математичні знаки служать в першу чергу для точної (однозначно визначеної) записи математичних понять і про
позицій. Їх сукупність - в реальних умовах їх застосування математиками - складає те, що називається математичною мовою.
Використання знаків дозволяє формулювати закони алгебри, а також і інших математичних теорій в загальному вигляді. Прикладом можуть послужити формули тієї ж алгебри: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
х 1,2 = і т.п.
Математичні знаки дозволяють записувати в компактній і легкообозрімой формі пропозиції, вираз яких на звичайній мові було б вкрай громіздким. Це сприяє більш глибокому усвідомленню їх змісту, полегшує його запам'ятовування.
Математичні знаки використовуються в математиці ефективно і без помилок, коли вони виражають точно визначені поняття, що відносяться до об'єктів вивчення математичних теорій. Тому, перш ніж використовувати в міркуваннях і в записах ті чи інші знаки, математик намагається сказати, що кожен з них позначає. В іншому випадку його можуть не зрозуміти.
В зв'язку зі сказаним необхідно підкреслити наступне. Математики не завжди можуть сказати відразу, що відображає той чи інший символ, введений ними для розвитку небудь математичної теорії, засобами якої можна вирішувати практично важливі завдання. Сотні років математики оперували негативними і комплексними числами і отримували з їх допомогою першокласні результати. Однак об'єктивний сенс цих чисел і дій з ними вдалося розкрити лише наприкінці XVIII та в початку XIX століття. Лейбніц ввів символи dx і dy, розвинув диференціальне числення і за допомогою правил останнього показав виняткову оперативну силу цих символів. Однак Лейбніц не виявив об'єктивного сенсу знаків dx і dy; це зробили математики XIX століття.
Знаки і системи знаків грають в математиці роль, вельми схожу з тією, яка в більш широких сферах пізнання і практичної діяльності людей належить звичайному розмовної мови. Подібно звичайному мові, мова математичних знаків дозволяє обмінюватися встановленими математичними істинами, налагоджувати контакт вчених у спільній науковій роботі.
Вирішальним, однак, є те, що мова математичних знаків без звичайної мови існувати не може. Звичайний (природний) мову змістовніше мови математичних знаків; він необхідний для побудови і розвитку мови математичних знаків. Мова математичних знаків тільки допоміжне засіб, що приєднуються до звичайної мови та використовуване в математиці і в областях, де застосовуються її методи.
Можливість використання мови знаків в математиці обумовлена ​​особливостями предмета її досліджень - тим, що вона вивчає форми і відносини об'єктів реального світу, у відомих межах байдужі до їх матеріального змісту. Істотна при цьому і специфіка математичних доказів. Математичне доказ полягає в побудові ланцюга висловлювань, початковою ланкою якої є справжні вихідні пропозиції, кінцевим - доказуване твердження. Проміжні ланки ланцюга виходять в кінцевому рахунку з початкового та з'єднуються з ним і кінцевою ланкою за допомогою законів логіки і правил логічного висновку. Якщо вихідні затвердження записані в символічній формі, то доказ зводиться до їх В«механічнимВ» видозмінам.
Доцільність, а в наш час і необхідність - використання мови знаків в математиці обумовлена ​​тим, що при його допомозі можна не тільки коротко і ясно записувати поняття та пропозиції математичних теорій, але й розвивати в них обчислення і алгоритми - найголовніше для розробки методів математики і її додатків. Досягти цього за допомогою звичайної мови якщо і можливо, то тільки в принципі, але не в практиці.
Достатня оперативність символіки математичної теорії суттєво залежить від повноти символіки. Ця вимога полягає в тому, що символіка повинна містити позначення всіх об'єктів, їх відносин і зв'язків, необхідні для розробки алгоритмів теорії, що дозволяють вирішувати будь-які завдання з класів однотипних завдань, розглянутих у цій теорії.
Оперування математичними знаками є ідеалізований експеримент: він у чистому вигляді описує те, що має місце або може бути (наближено або точно) реалізовано в дійсності. Тільки тому оперування математичними знаками здатне служити відкриттю нових математичних істин.
Вирішальною силою розвитку математичної символіки є не В«вільна воляВ» математиків, а вимоги практики математичних досліджень. Саме реальні математичні дослідження допомагають математикам в кінці кінців з'ясувати, яка система знаків найкращим чином відображає структуру розглянутих кількісних відносин, в силу чого може бути ефективним знаряддям їх подальшого вивчення.
В§ 1. Введення нуля і розвиток позиційної десяткової системи числення.
Інтуїтивне уявлення про число, мабуть, так само старо, як і саме людство, хоча з достовірністю простежити всі ранні етапи його розвитку в принципі неможливо. Перш ніж людина навчилася рахувати або придумав слова для позначення чисел, він, безсумнівно, володів наочним, інтуїтивним уявленням про число, що дозволяв йому розрізняти однієї людини і двох людей або двох і багатьох людей.
Назви чисел, що виражають вельми абстрактні ідеї, з'явилися, безсумнівно, пізніше, ніж перші грубі символи для позначення числа об'єктів в деякій сукупності. В глибокій старовині примітивні числові записи робилися у вигляді зарубок на ціпку, вузлів на мотузці, викладених у ряд камінчиків, причому малося на увазі, що між перелічуваними елементами множини і символами числовий запису існує взаємно однозначна відповідність. Але для читання таких числових записів назви чисел безпосередньо не використовувалися. Нині ми з першого погляду розпізнаємо сукупності з двох, трьох і чотирьох елементів; дещо важче розпізнаються на погляд набори, що складаються з п'яти, шести чи семи елементів. А за цією кордоном встановити на око їх число практично вже неможливо, і потрібен аналіз або у формі рахунку, або в певному структуруванні елементів. Рахунок на бирках, мабуть, був першим прийомом, який використовувався в подібних випадках: карби на бирках...
