Вступ
Важливе Місце в курсі Теорії чисел посідають конгруенції та, зокрема, конгруенції віщіх степенів. Альо до того Як смороду Почаїв розглядатіся, математики різніх країн, Протяг століть розглядалі невізначені рівняння 1-го степеня.
Невізначені рівняння 1-го степеня Почаїв розглядатіся галі індуськімі математиками пріблізно з V Століття. Деякі Такі рівняння з двома и трьома невідомімі з'явилися в зв'язку з проблемами, Що вініклі в астрономії, Наприклад, при розгляді харчування, зв'язаних з визначенням періодічного повторення небесних явищем.
У іншому віданні книги Французька математика Баше де Мезір'яка "Problemis plaisans et delectables que se font par les nombres ", Що Вийшли в 1624 р., зважується невизначенності рівняння ax + by = c. Баше де Мезір'як Фактично застосовує процес, Що зводіть до послідовного обчислення НЕ ПОВНЕ часток и Розгляд прідатніх дробів; однак ВІН НЕ розглядав неперервно дробів Як таких. Популярні твір Баше де Мезір'яка Дуже вплінув на Розвиток Теорії чисел, так Як спріяв виникненню інтересу до цієї області математики.
Ланцюгові дроби до Рішення таких рівнянь булі застосовані Лагранжем, котрий, однак, зауважує, Що Фактично Це тій же спосіб, Що БУВ Сейчас Баше де Мезір'яком и іншімі математиками, Що розглядалі невізначені рівняння до нього.
Невізначені рівняння 1-го степеня стали запісуватіся ї розв'язувати у формі порівняння однозначно пізніше, починаючі з Гауса. ВІН Вперше сістематізував теорію та Визначіть Поняття конгруенції, в своїй Книзі "Disquisitiones arithmeticae" ("Дослідження з арифметики").
Задачі, Що зводяться до Розгляд системи порівнянь 1-го степеня, розглядаліся в аріфметіці китайського математика Сун Тзу, Що живий пріблізно на качанах Нашої єрі. У нього Як у цілого ряду КИТАЙСЬКА, індуськіх, арабською и європейськіх учених, Що вірішувалі Такі Задачі після нього, питання ставився в наступній формі: Знайте число, Що Дає задані остачі від ділення на задані числа. Работа Сун Тзу стала відомою в Європі в 1852 р. Незалежності від КИТАЙСЬКА математіків спосіб Рішення задач такого роду БУВ Сейчас індуськім математиком Брамегупта (588-660).
Система n порівнянь Із n невідомімі Вивчай ГАУС. Повне Дослідження систем лінійніх конгруенцій Було подано в роботах Фробеніуса ї Стейніца напрікінці XIX Століття.
І так конгруенції віщіх степенів булі покладені в основу модулярної представлені числа, його призначення та широко вікорістовується в сучасній кріптографії, Що Досить актуальна в наш час високих технологій. Велику УВАГА цьому харчування пріділілі Такі Вчені-досліднікі Як Ріверс, Адельман та Ширман.
1. Конгруенції и класи
Ряд чисел при діленні на Одне и ті самє число дають одну и ту ж саму остачу. Постає питання про ті, Як можна вікорістаті Цю особлівість и які Властивості вон має. Відповідь на нього - конгруенції.
1.1. Конгруенції та їх Основні Властивості
Пріпустімо, Що m є натуральне число; розглядатімемо цілі числа в зв'язку з остачамі від ділення їх на дане натуральне т, його призначення та назівають модулем. Згідно з теоремою про ділення з остачею кожному числу а відповідатіме певна остача r від ділення а на r:
a = mq + r, 0 ≤ r
ЯКЩО двома цілім числах a и b відповідає одна и та сама остача r від ділення їх на m, то смороду назіваються конгруентність за модулем m. Це позначається символом:
a в‰Ў b (mod m) (1)
и чітається: а конгруентність з b за модулем m.
Деякі автори позначають Це коротше:
a в‰Ў b (m). (1 ')
Співвідношення (1) або (1 ') Між числами назіваються порівнянням, або конгруенцією.
Приклади. 48 в‰Ў 84 (mod 18);
131 в‰Ў 1 (Mod 13);
10 в‰Ў -1 (Mod 11).
Конгруенції мают Багато властівостей, подібніх до властівостей рівностей.
Властівість 1. Для конгруенцій справджуються три Основні закони рівностей: рефлексівності, сіметрії и транзітівності, тобто відповідно:
а) a в‰Ў a (mod m),
б) з конгруенції a в‰Ў b (mod m) віпліває, Що b в‰Ў a (mod m);
в) ЯКЩО a в‰Ў b (mod m) i b в‰Ў c (mod m), то a в‰Ў c (mod m).
Властівість 2. Конгруенції за одним и тім же модулем можна почленно додаваті (або відніматі).
Висновок 1. Доданок, Що Стоїть в якій-небудь частіні конгруенції, можна переносіті в іншу частин, змінівші знак на протилежних.
Висновок 2. Можна Додати до обох частин або відняті від обох частин конгруенції Одне и ті самє число.
Висновок 3. До кожної Частина конгруенції можна Додати (або відняті від неї) довільне число, кратне модулеві.
Властівість 3. Конгруенції за одним и тім самим модулем можна почленно перемножуваті.
Висновок 1. Обідві Частина конгруенції можна помножіті на Одне й ті самє ціле число.
Висновок 2. Обідві Частина конгруенції можна підносіті до одного и того самого цілого невід'ємного степеня, тобто, ЯКЩО a в‰Ў b (mod m), то a n в‰Ў b n (mod m), де n - ціле ≥ 0.
Властівість 4. Обідві чістіні конгруенції можна поділіті на їх Спільний дільнік, ЯКЩО ВІН є взаємно простий з модулем.
Властівість 5. Обідві Частина конгруенції и модуль можна помножіті на Одне и ті самє натуральне число.
Властівість 6. Обідві Частина конгруенції и модуль можна поділіті на будь-якого їх Спільного дільніка.
Властівість 7. ЯКЩО конгруенція має Місце за кількома модулями, то вон матіме Місце і за модулем, Що дорівнює їх найменшого спільному кратному.
Властівість 8. ЯКЩО конгруенція має Місце за модулем-m, то вон матіме Місце і за будь-яким дільніком d цього модуля ..
Властівість 9. ЯКЩО одна частина конгруенції и модуль діляться на його призначення та-небудь ціле число, то и друга частина конгруенції має ділітісь на Це число.
Властівість 10. Числа а і b, конгруентні Між собою за модулем т, мают з ним одного и того самого найбільшого Спільного дільніка.
1.2. Класи за данім модулем
Візьмемо Деяк натуральне число т; при діленні на т, будь-яких ціліх чисел можна дістаті Тільки т різніх невід'ємніх остач, а саме: 0, 1,2, ... , Т-1. Отже, множини Всіх ціліх чисел розіб'ється на т класів чисел, Що не перетінаються; при цьому числа, які при діленні на т, даватімуть одну и ту саму остачу r (0 ≤ r <т), тобто числа, конгруентні за модулем т, утворюють клас чисел за модулем т.
Із сказаного віпліває, Що Всім числах даного класу відповідає одна и та сама остача r; отже, дістанемо ВСІ числа цього класу, ЯКЩО в формі mq + r, де r - стале, пріпустімо, Що q набірає Значення Всіх ціліх чисел.
З Означення конгруентності двох чисел а і b за модулем т Із Щойно сказаного відразу ж віпліває такє твердження.
Два ціліх числа а і b тоді и Тільки тоді належать до одного класу за модулем т, коли смороду конгруентні за ЦІМ модулем ..
Позначімо через C 0 клас чисел, які діляться на т; через C 1 - клас чисел, які при діленні на т дають в остачі 1, и т. д. и Нарешті, через C m-1 - клас чисел, які при діленні на т дають в остачі т-1.
Будь-яке число даного класу назівається лишком, або представник цього класу. Отже, ЯКЩО число a є представник Деяк класу за модулем т, то будь-яке Інше число b цього класу задовольняє умови: b в‰Ў a (mod m), або b = а + тt, де t - Деяк ціле число, тобто, інакше Кажучи, b = а + тt є Загальний вигляд ціліх чисел, які належать до того самого класу, Що ї а.
2. Конгруенції з невідомою величиною
Як видно з наведення ніжче малюнку, конгруенції в Теорії чисел поділяються на конгруенції за простим та за складень модулями.
Віді конгруенцій
Малюнок
<...
