Каратаєв Е.А.
Введення.
При першій же спробі розгляду Гіперкомплексні чисел в якості підстави для відповідної геометрії виникає бажання знайти в Гіперкомплексні числа аналоги геометричних понять. І однією з перших труднощів стає пошук аналога скалярного твори. Якщо в геометрії є проекція відрізка, в векторної алгебри є скалярний добуток, то чому ж це поняття відповідає в Гіперкомплексні числа?
Прагнення до спільності визначення наштовхується на ряд понять, які опинилися введені в класичному підході у вигляді, як кажуть студенти, "підгонки". І скалярне твір, і сполучення, як виявилося, були введені в математику аксіоматично і теореми, іспользоваашіе їх визначення, природним чином підтвердили їх властивості, що випливають однозначним чином з їх визначення.
Класична форма (білінійна форма) була використана, наприклад, в теоремі Гурвіца і тим самим було введено обмеження на набір розглянутих алгебр. Подальші спроби розвитку теорії Гіперкомплексні алгебр пішли не по дорозі розгляду властивостей алгебр, що утворюються шляхом подвоєння і використання цих властивостей, а по шляху розгляду алгебр над полями з усе більш глибокої їх структуризацією.
Мені хотілося б до кінця з'ясувати питання - що є аналогом скалярного твори в Гіперкомплексні числа і, порівнявши два підходи, з'ясувати, де знаходяться білі плями класичного підходу. І скромно припустити напрямок досліджень, яке може дати, можливо, корисні в техніці та фізиці результати.
Скалярний ж твір в класичній геометрії, яке визначається у вигляді білінійної форми, до Гіперкомплексні числа не підходить в загальному випадку, оскільки автоматично означає і вимогу білінійної квадрата модуля. А таким вимогам відповідає менша частина алгебр. Решта мають визначення 4-го ступеня модуля в вигляді 4-х лінійної форми, або, можливо, ще більш високого порядку.
В цій статті і робиться спроба відшукання формально загального визначення скалярного твори у формі, що допускає його застосування до таких алгебр з 4-х лінійними формами.
1. Класичний підхід.
Візьмемо на площині два вектора
Позначимо кінці даних векторів відповідно через X і Y. З формули для відстані між двома точками маємо:
звідки слід
(1)
З цієї рівності, якщо врахувати теорему Піфагора, легко побачити, що необхідним і достатньою умовою перпендикулярності і є
Зауважимо, що якщо це ж міркування застосувати до векторів не на площині, а в просторі, то отримаємо умову перпендикулярності в аналогічній формі:
Формула (1) наводить на думку пов'язати з кожною парою векторів і на площині число
(2)
а в просторі - число
(2 ')
Це число в геометрії називають скалярним добутком векторів і і позначають (x, y). Зауважимо, що довжина довільного вектора x виражається через скалярний добуток. А саме, у разі площині
а у разі простору
Вищенаведений хід міркувань узятий з книги [1] і є свого роду зразком. Відзначу ще раз, що скалярний добуток вводиться на основі теореми Піфагора, а не навпаки, як іноді намагаються довести ледачі студенти.
До основним властивостям скалярного твори відносять:
1) , Причому (X, x) тільки при x = 0
2) (X, y) = (y, x)
3) (X, ky) = k (x, y) де k - будь-яке дійсне число
4) (X, y + z) = (x, y) + (x, z)
При будь-якому узагальненні, як пишуть Кантор і Солодовников, поняття скалярного добутку на n - мірний випадок бажано, щоб властивості 1) - 4) зберегли силу. Зважаючи цього приймемо наступне визначення.
Визначення. Будемо говорити, що в n - мірному векторному просторі A n задано скалярний добуток, якщо кожним двом векторах x і y зіставлять деяке дійсне число - позначимо його (x, y) - так, що виконані властивості 1), 2), 3), 4). Число (x, y) будемо називати скалярним твором вектора x на вектор y.
В більш загальному вигляді скалярний добуток визначається як
де - Базисні вектора.
Величини
є постійними числами, залежними тільки від обраного базису. Таким чином, якщо вибраний базис, то
Вищенаведене класичне визначення скалярного твори зіграло у математиці свого роду роль фундаменту, причому вельми міцного і грунтовного. І на превеликий жаль такий підхід не дав результатів в фінслерових геометріях, коли величина вектора визначається не через білінійну форму, а через n - лінійну.
2. Геометрична трактування проекції.
Для введення визначення скалярного твори у формі, припустимою до використанню, розглянемо принцип формування проекції і спробуємо її формалізувати. Звернемо увагу на звичайні вектора в 2-х або 3-х мірному просторі.
Проекцією назвемо величину, рівну відстані від початку координат до точки перетину вектора A з перпендикуляром, побудованим на нього з точки B. Тепер уявімо собі, що простір - це простір компонент Гіперкомплексні числа, і значить побудувати перпендикуляр ми поки не можемо, оскільки це поняття ще не визначено.
Тепер повернемо обидва наших аектора так, щоб вектор A збігся з однією з осей. У цьому випадку проекція вектора B на вектор A визначається особливо просто - треба взяти компоненту, відповідну осі X, і ця величина і буде проекцією.
Для того, щоб цей методу працював у довільно взятій системі Гіперкомплексні чисел Келі - Діксона, виберемо як такий цільової осі для довороту дійсну вісь, оскільки в будь алгебрі Келі - Діксона визначена дійсна компонента.
Відзначимо той факт, що поворот повинен здійснюватися в площині, що проходить через дійсну вісь і ми можемо використовувати механізм скалярно - просторових поворотів, описаний в роботі [2]. У разі використання алгебр, комутативних по множенню, поворот може бути здійснений так само, як на звичайній комплексної площині, шляхом простого множення на оператор повороту.
3. Скалярна проекція Гіперкомплексні чисел.
Будемо шукати оператор повороту у вигляді
Будучи застосованим до вектору A, цей поворот повинен дати дійсне число:
Нескладно бачити, що цьому рівнянню задовольняє рішення
Або, інакше кажучи, сам вектор A і задає оператор повороту, на який слід його повернути, щоб отримати дійсне число.
Застосувавши цей оператор повороту до вектора B, отримаємо:
І для того, щоб отримати проекцію, слід взяти дійсну частину вектора B 'і провести відповідну нормировку, оскільки зазначеним поворотом ми спотворили величину модуля вектора B.
До числа досить важливих властивостей скалярного добутку відноситься:
Тому, прагнучи знайти для Гіперкомплексні чисел повну аналогію скалярному твору, ми не будемо використовувати норміровок. У цьому випадку певне вище правило виглядає як:
І для випадку A = B переходить в
Перерахуємо ще раз властивості скалярного добутку в класичному варіанті і знайдемо відповідності їм у разі Гіперкомплексні чисел:
1) , Причому (X, x) тільки при x = 0
2) (X, y) = (y, x)
3) (X, ky) = k (x, y) де k - будь-яке дійсне число
4) (X, y + z) = (x, y) + (x, z)
Для першого властивості вищенаведене правило побудови проекції не підходить, оскільки
Оскільки навіть для тих алгебр, для яких може бути негативним числом, число завжди позитивно, але виняток становить умову
(x, x) = 0 тільки при x = 0
Тут варто зробити застереження, що в Гіперкомплексні алгебрах випадок ідеалів зовсім не є винятком, тому для скалярної проекції Гіперкомплексні чисел цілком можливо зняти цю умову і дозволити
при
Розглянемо друге властивість скалярного д...
