ПОШИРЕННЯ ХВИЛЬ У світловодів
1. Падіння плоскої хвилі на межу розділу двох середовищ
Розглянемо плоску межу розділу двох середовищ з різними діелектричними проницаемостями і. Індекси i, r, t - відносяться до падаючої, відбитої і пройшла хвилях.
1.1 Нормальне падіння
Для простоти напруженості поля плоскої хвилі будемо розглядати як скалярні величини, маючи на увазі, що відповідні вектори направлені так, як показано на рис. 1 (в початковий момент напруженість спрямована в бік негативного напрямку осі y, а напруженість - у бік позитивного напрямку осі z).
Хвильові опору і компоненти поля зв'язані наступними співвідношеннями
. (1)
Рис. 1. - Відображення плоскої хвилі від кордону розділу двох середовищ при
нормальному падінні
Знак "-" для відбитої хвилі з'являється внаслідок обліку зміни напрямку поширення хвилі і прийнятої скалярною форми запису компонент поля.
На межі розділу повинні виконуватися умови безперервності дотичних складових електричного та магнітного полів
. (2)
Останні вирази дозволяють отримати корисне співвідношення
.
При відображенні хвилі в середовищі 1 від кордону із середовищем 2 повний хвильовий опір (хвильове опору для повного поля) дорівнює хвильовому опору середовища 2.
З (1) та (2) легко отримати коефіцієнти відбиття і проходження для напруженості електричного поля:
. (3)
Враховуючи вирази для показників заломлення
отримуємо класичні формули
, (4)
де.
Вираз для вектора Пойнтінга і (3) дозволяють отримати формули для коефіцієнтів відбиття і проходження по потужності
,
Прямі обчислення показують, що
,
і це знаходиться в повній згоді з законом збереження енергії.
1.2 Довільне падіння на границю розділу
У цьому випадку необхідно розглянути два випадки: Е - поляризації та Н-поляризації, які відрізняються орієнтацією вектора Е падаючої хвилі. При Е поляризації вектор у площині падіння лежить вектор Е, а при Н поляризації - вектор Н. Однак розгляду двох випадків можна уникнути, якщо скористатися принципом подвійності для рівнянь Максвелла, згідно з яким система рівнянь Максвелла інваріантна щодо заміни.
Цей принцип у нашому випадку дозволяє:
а) знайти коефіцієнти відображення і проходження для магнітних полів, знаючи ці коефіцієнти для електричних полів,
б) отримати відповідні вирази для випадку Е поляризації, знаючи вирази для Н поляризації і навпаки.
Тому нижче ми розглянемо тільки випадок Н поляризації.
Рис. 2. - Похиле падіння плоскої хвилі
Для спрощення процедури знаходження R і T при похилому падінні плоскої хвилі на межу розділу скористаємося ще одним міркуванням. У разі довільного падіння (рис. 2) можна завжди розкласти хвилю на дві плоскі хвилі: одну, що поширюється в напрямку "-x", другу - в позитивному напрямі осі z. Для цього достатньо розкласти поле Н в площині падіння (пл. XZ) на дві компоненти: H x і H z . Перша утворює плоску хвилю, що поширюється уздовж границі розділу і вона не зазнає жодного відображення. Друга - плоску хвилю, нормально падаючу на межу розділу (з хвильовим числом, згідно рис. 2) і приводить до появи відбитої і пройшла хвиль. Таким чином, ми знову приходимо до нормального падіння і можемо скористатися вже отриманими раніше виразами. Однак при цьому потрібно врахувати, що для розглянутої нормально падаючої хвилі, хвильові опору будуть визначатися вже іншими співвідношеннями, які мають такий вигляд:
Н поляризація
,
, (5)
Е поляризація
,
, (6)
Рис. 3. - Залежність коефіцієнта віддзеркалення від кута падіння
Враховуючи все сказане, по (3) і (4) з урахуванням (5) і (6) отримаємо наступні залежності коефіцієнтів відбиття і проходження від кутів падіння q і заломлення j.
Н поляризація
,, (7)
Е поляризація
,. (8)
Це і є класичні формули Френеля, які ми отримали досить просто.
Криві залежності коефіцієнтів відбиття і проходження від кута падіння наведено на рис. 3.
З (7), (8) і рис. 3. слідують відомі закономірності.
1. Для Е поляризованої хвилі існує особливий кут падіння q B , званий кутом Брюстера, при якому коефіцієнт відбиття дорівнює нулю. Це явище часто використовують для отримання поляризованого світла при відбитті (в Зокрема, в газових лазерах з цією метою використовують вікно Брюстера).
2. У разі нормального падіння Н поляризованої хвилі на оптично більш щільне середовище (h> 1) вона набуває при відображенні фазовий зсув, рівний p.
3. При відображенні Н поляризованої хвилі від поверхні оптично менш щільного середовища (h <1) має місце граничний кут падіння q з , при якому виконується умова
, (9)
і який відповідає повному внутрішньому віддзеркаленню, оскільки в цьому випадку.
Фізичні процеси, відбуваються при кутах більших ніж q = q з , вимагають більш ретельного розгляду в силу їх важливості для аналізу спрямованого поширення хвиль.
1.3 Повне внутрішнє відображення
Розглянемо відображення Н поляризованої хвилі при q> Q з і при h <1. Із закону Снеллиуса випливає, що
, (10)
чисто уявна величина. Покладемо, тоді згідно (7)
, (11)
де,. (12)
З (11), (12) випливають два важливих висновки
1. При кутах падіння більших або рівних критичного кутку q з має місце повне внутрішньо віддзеркалення.
2. Відбита хвиля набуває фазовий зсув, що залежить від кута падіння.
Щоб більш прояснити фізичну картину того, що відбувається, проаналізуємо енергетичні співвідношення. Розглянемо докладніше хвилю в середовищі 2 (рис. 2). Будемо вважати напруженість електричного поля, вектор якої паралельний осі OY, речової величиною. Тоді, знову розкладаючи вектор напруженості магнітного поля на дві складові і отримаємо що
- речова величина,
- уявна величина
і відповідні їм компоненти вектора Пойнтінга в другій середовищі
- речовинний,
- уявний.
Таким чином, уздовж осі z мається потік розповсюджується енергії, а уздовж осі x - потік реактивної енергії. Це еквівалентно наявності неоднорідної хвилі, що розповсюджується вздовж границі розділу. Еквіфазние поверхні цієї хвилі - площині, перпендикулярні осі z, а поверхні постійної амплітуди - площині, паралельні осі z. Дійсно, для компонент хвильового вектора неважко отримати з рис. 2
, (13)
. (14)
Співвідношення (14) показує, що хвиля в другій середовищі обов'язково повинна експоненціально затухати уздовж осі OX. Глибина її проникнення визначається виразом
.
і вона зменшується з збільшенням кута падіння. Відзначимо, що d обернено пропорційно частоті і це значно відрізняється від залежності глибини проникнення від частоти для середовища з провідністю (Поглинаючої середовища).
Отже, якісно еволюцію фізичної картини, що має місце при зміні кута падіння Н поляризованої хвилі на межу розділу двох середовищ можна представити таким чином. При обох середовищах виникають плоскі однорідні хвилі, що поширюються під деякими кутами до межі розділу. У міру зростання q напрямки поширення і швидкості цих хвиль зближуються і при критичному куті падіння напрямки їх поширення і швидкості стають рівними. Відбувається як би виродження цих двох хвиль в одну плоску однорідну хвилю, що поширюється уздовж кордону розділу. Оскільки хвиля однорідна, то її поверхні постійної фази і амплітуди збігаються - це площини, перпендикулярні межі розділу. Однак при подальшому збі...
