Придністровський державний університет ім. Т. Г. Шевченка
Фізико-математичний факультет
Контрольна робота
з дисципліни:
Основи теорії динамічних систем
В«біфуркаційні деревоВ»
Виконала: Студентка 503 групи ФМФ Слободянюк А.А.
Перевірив: доцент Соковніч С.М.
Тирасполь 2010
Зміст
Введення
1. Біфуркаційні дерево
2. Постановка завдання
Література
Додаток
Введення
До хаосу системи можуть переходити різними шляхами. Серед останніх виділяють біфуркації, які вивчає теорія біфуркацій. Біфуркація (від лат. Bifurcus - роздвоєний) являє собою процес якісного переходу від стану рівноваги до хаосу через послідовне дуже мале зміна періодичних точок.
Ми знаємо з визначення, біфуркації виникають при переході системи від стану видимої стабільності і рівноваги до хаосу. Прикладами таких переходів є дим, вода і багато інших самі звичайні природні явища. Так, піднімається вгору дим спочатку виглядає як упорядкований стовп. Однак через деякий час він починає зазнавати зміни, які спочатку здаються впорядкованими, однак потім стають хаотично непередбачуваними. Фактично перший перехід від стабільності до деякій формі видимої впорядкованості, але вже мінливості, відбувається в першій точці біфуркації. Далі кількість біфуркацій збільшується, досягаючи величезних величин. З кожною біфуркацією функція турбулентності диму наближається до хаосу. За допомогою теорії біфуркацій можна передбачити характер руху, виникає при переході системи в якісно інший стан, а також область існування системи та оцінити її стійкість.
1. Біфуркаційні дерево
Характерною ілюстрацією можливих біфуркацій у системі служить біфуркаційні дерево, яке представляє собою залежність можливих дискретних значень динамічної змінної на аттрактору від параметра. Типовий приклад такого дерева, побудованого за допомогою комп'ютера, показаний на малюнку. Наведений приклад відноситься до однієї з еталонних моделей нелінійної динаміки - логістичному відображенню. Наше аналітичне розгляд дозволяє намалювати початкова ділянка дерева (рис. 1)
Рис. 1. Залежність усталеного значення змінної від параметра при біфуркації подвоєння періоду.
На ньому зображені стійка нерухома точка і народжується 2-цикл. В останньому випадку змінна послідовно відвідує дві гілки дерева. Таку ситуацію розщеплення дерева називають біфуркацією подвоєння періоду. Повне дерево (для всіх значень параметра) можна побудувати з допомогою комп'ютера. Для цього треба задати деяке початкове значення змінної і параметра. Потім виконати кілька сот ітерацій відображення, щоб виключити перехідні процеси і реалізувати сталий режим, і вивести деяку кількість точок на екран дисплея. Потім процедуру повторити для злегка зміненого кількості параметра (рекомендуємо в якості нового початкового значення змінної використовувати отримане на попередньому кроці процедури) і продовжувати повторювати до тих пір, поки весь цікавить діапазон значень керуючого параметра не буде пройдений. В результаті вийде картинка, показана на рис. 2.
На біфуркаційні дереві добре видно моменти подвоєнь періоду, в які дерево розщеплюється на дві гілки, хаотичний режим і різні В«вікнаВ» періодичних режимів в хаосі.
Ретельне розгляд біфуркаційного дерева призводить до цікавого висновку: усередині вікон періодичності також спостерігаються подвоєння періоду. Наприклад, при О» = 1,75 виникає стійкий 3-цикл. Однак зі зростанням О» він зникає на дереві (насправді стає нестійким), і від нього відділяється стійкий 6-цикл, потім 12-цикл і т.д. Каскад подвоєнь 3-циклу завершується переходом до хаосу у своїй, новій критичній точці. Те ж саме відноситься і до циклів інших періодів.
Рис. 2. Біфуркаційні дерево логістичного відображення
2. Постановка завдання
Створити програму, яка при клацанні мишею на біфуркаційні дереві в окремому вікні будує итерационную діаграму.
Література
1. І. Ануфрієв, О. Смирнов, Є. Смирнова В«MATLAB 7В» Cанкт-Петербург 2005 р
2. А.П. Кузнєцов, А.В. Савін, Л.В. Тюрюкіна В«Введення у фізику НЕЛІНІЙНИХ ВІДОБРАЖЕНЬВ» Саратов 2010 р
3. Ж.Йосс, Д.Джозеф В«Елементарна теорія СТІЙКОСТІ І біфуркації В»
біфуркація комп'ютерний ітераційний періодичний
Додаток
function varargout = mygui0 (varargin)
% MYGUI0 M-file for mygui0.fig
% MYGUI0, by itself, creates a new MYGUI0 or raises the existing
% singleton *.
%
% H = MYGUI0 returns the handle to a new MYGUI0 or the handle to
% the existing singleton *.
%
% MYGUI0 ('CALLBACK', hObject, eventData, handles, ...) calls the local
% function named CALLBACK in MYGUI0.M with the given input arguments.
%
% MYGUI0 ('Property', 'Value', ...) creates a new MYGUI0 or raises the
% existing singleton *. Starting from the left, property value pairs are
% applied to the GUI before mygui0_OpeningFcn gets called. An
% unrecognized property name or invalid value makes property application
% stop. All inputs are passed to mygui0_OpeningFcn via varargin.
%
% * See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one
% instance to run (Singleton) ".
%
% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES
% Edit the above text to modify the response to help mygui0
% Last Modified by GUIDE v2.5 25-Dec-2010 20:41:17
% Begin initialization code - DO NOT EDIT
gui_Singleton = 1;
gui_State = struct ('gui_Name', mfilename, ...
'gui_Singleton', gui_Singleton, ...
'gui_OpeningFcn', @ Mygui0_OpeningFcn, ...
'gui_OutputFcn', @ mygui0_OutputFcn, ...
'gui_LayoutFcn', [], ...
'gui_Callback', []);
if nargin && ischar (varargin {1})
gui_State.gui_Callback = str2func (varargin {1});
end
if nargout
[varargout {1: nargout}] = gui_mainfcn (gui_State, varargin {:});
else
gui_mainfcn (gui_State, varargin {:});
end
% End initialization code - DO NOT EDIT
% --- Executes just before mygui0 is made visible. function mygui0_OpeningFcn (hObject, eventdata, handles, varargin)
% This function has no output args, see OutputFcn.
% hObject handle to figure
% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)
% varargin command line arguments to mygui0 (see VARARGIN)
% Choose default command line output for mygui0 handles.output = hObject;
% Update handles structure guidata (hObject, handles);
% UIWAIT makes mygui0 wait for user response (see UIRESUME)
% uiwait (handles.figure1);
% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = mygui0_OutputFcn (hObject, eventdata, handles)
% varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT);
% hObject handle to figure
% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)
% Get default command line output from handles structure
varargout {1} = handles.output;
% --- Executes on button press in btnPlot.
function btnPlot_Callback (hObject, eventdata, ha...
