ЗМІСТ
планування експеримент модель
ВСТУП
1 Загальні відомості про планування експерименту
2 Коротка характеристика методики складання планів експерименту для моделей першого і другого порядків
2.1 Загальні положення про планування другого порядку
2.2 Ортогональні центральні композиційні плани другого порядку
2.3 Рототабельние плани другого порядку
ВИСНОВОК
Список використаних джерел
ВСТУП
Розвиток сучасної науки і техніки пов'язано із створенням нових і постійним вдосконаленням існуючих наукових і технологічних процесів. Основою їх розробки та оптимізації є експеримент. Помітне підвищення ефективності експериментальних досліджень і інженерних розробок досягається використанням математичних методів планування експериментів. У процесі експериментування і при обробці отриманих даних істотно скорочує терміни рішення, знижує витрати на дослідження і підвищує якість отриманих результатів.
Мета планування експерименту - знаходження таких умов і правил проведення дослідів при яких вдається отримати надійну і достовірну інформацію про об'єкт з найменшою витратою праці, а також представити цю інформацію в компактній і зручній формі з кількісною оцінкою точності.
1. Загальні відомості про планування експерименту
Ініціатором застосування планування експерименту є Рональд А. Фішер, інший автор відомих перших робіт - Френк Йетс. Далі ідеї планування експерименту формувалися в працях Дж. Боксу, Дж. Кіфера. У нашій країні - в працях Г.К. Кола, Є.В. Маркова та ін
Часто, приступаючи до вивчення якого процесу експериментатор не має вичерпних відомостей про механізмі процесу. Можна тільки вказати параметри визначають умови протікання процесу, і, можливо вимоги до його результатів. Поставлена проблема є завданням кібернетики. Дійсно, якщо вважати кібернетику В«Наукою, що вивчає системи будь-якої природи, здатні сприймати, зберігати та переробляти інформацію для цілей оптимального управління В»[3], то таку систему можна представити у вигляді чорного ящика.
Чорний ящик - об'єкт дослідження, має (k + p) входів і m виходів.
Залежність між вихідними параметрами (відгуком) і вхідними параметрами (факторами) називається функцією відгуку. Математична запис функції відгуку представлена ​​у вигляді формули (1):
(1)
Цьому рівнянню в багатовимірному просторі відповідає гіперповерхні, яка називається поверхнею відгуку, а сам простір - факторним простором.
Малюнок 2 - Поверхня відгуку
Для математичного опису поверхні відпочинку використовують рівняння:
(2)
де - перемешнние фактори при i = 1, ..., k; u = 1, ..., k; iu;
.
Це рівняння є розкладанням в ряд Тейлора невідомої функції відгуку в околиці точки з.
На практиці за результатами експерименту проводиться обробка дан вих за методом найменших квадратів. Цей метод дозволяє знайти оцінку b коефіцієнтів, і даний поліном замінюється рівнянням виду:
(3)
яке є регресійної моделлю (моделлю регресійного аналізу). У цьому виразі означає модельне, тобто розраховується по рівнянню моделі, значення виходу. Коефіцієнти регресії визначаються експериментально і служать для статистичної оцінки теоретичних коефіцієнтів, тобто
(4)
У регресійній моделі члени другого ступеня, характеризують кривизну поверхні відгуку. Чим більше кривизна цієї поверхні, тим більше в моделі регресії членів вищого ступеня. На практиці найчастіше прагнуть обмежитися лінійної моделлю [1].
Експеримент можна проводити по-різному. У випадку, коли дослідник спостерігає за якимось некерованим процесом, не втручаючись в нього, або вибирає експериментальні точки інтуїтивно, на підставі якихось привхідних обставин, експеримент вважають пасивним. В Нині пасивний експеримент вважається неефективним.
Набагато більш продуктивно проводиться експеримент, коли дослідник застосовує статистичні методи на всіх етапах дослідження, і, перш за все, перед постановкою дослідів, розробляючи схему експерименту, а також в процесі експериментування, при обробці результатів і після експерименту, приймаючи рішення про подальші дії. Такий експеримент вважають активним, і він припускає планування експерименту.
Під плануванням експерименту розуміють процедуру вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних і достатніх для вирішення поставленого завдання з необхідною точністю.
Під математичною моделлю планування розуміється наука про способи складання економічних експериментальних даних планів, які дозволяють витягувати найбільшу кількість інформації про об'єкт дослідження, про способи проведення експерименту, про способи обробки даних та їх використання для оптимізації виробничих процесів, а також інженерних розрахунків [3].
2. Коротка характеристика методики складання планів експерименту для моделей першого і другого порядків
Використання теорії планування експерименту є одним із шляхів істотного підвищення ефективності багатофакторних експериментальних досліджень. У плануванні експериментів застосовуються в основному плани першого і другого порядків. Плани більш високих порядків використовуються в інженерній практиці рідко. У зв'язку з цим далі наводиться короткий виклад методики складання планів експерименту для моделей першого і другого порядків. Під планом першого порядку розуміють такі плани, які дозволяють провести експеримент для відшукання рівняння регресії, містить тільки перші ступені факторів і їх твори:
(5)
Плани другого порядку дозволяють провести експеримент для відшукання рівняння регресії, що містить і другі ступеня факторів:
(6)
Знаходження рівняння регресії методом планування експериментів складається з наступних етапів:
В· вибір основних факторів і їх рівнянь;
В· планування та проведення власного експерименту;
В· визначення коефіцієнтів рівняння регресії;
В· статистичний аналіз результатів експерименту [1].
2.1 Загальні положення про планування другого порядку
Опис поверхні відгуку поліномами першого порядку часто виявляється недостатнім. У багатьох випадках задовільна апроксимація може бути досягнута, якщо скористатися поліномом другого порядку (6).
У цьому випадку потрібно, щоб кожен фактор варіювався не менше ніж на трьох рівнях. У цьому випадку повний факторний експеримент містить занадто велику кількість дослідів, рівне. Так, при їх 27, а число коефіцієнтів, при число дослідів 243, а коефіцієнтів 21. У зв'язку з цим здійснення повного факторного експерименту (ПФЕ) для планів другого порядку не тільки складно, але і недоцільно.
Скоротити число дослідів можна, скориставшись так званим композиційним або послідовним планом, розробленим Боксом і Вілсоном. Так, при двох факторах модель функції відгуку другого порядку являє собою поверхню у вигляді циліндра, конуса, еліпса і т.д., описувану в загальному вигляді рівнянням:
. (7)
Для визначень такої поверхні необхідно розташовувати координатами не менше трьох її точок, тобто фактори і повинні варіюватися не менше ніж на трьох рівнях. Тому план експерименту в площині факторів і на малюнку 3, а не може складатися лише з дослідів 1, 2, 3, 4, розташованих у вершинах квадрата, як це робиться для моделі першого порядку. До них повинні бути додані досліди (Зоряні точки) 5, 6, 7, 8, розташовані на осях і з координатами і обов'язково досвід 9 в центрі квадрата, щоб по будь-якому напряму (5-9-6), (1-9-4) і т.д. розташовувалося три точки, що визначають кривизну поверхні в цьому напрямку.
Малюнок 3 - Плани другого порядку при: а - ортогональний;
б - рототабельний
Таким чином, у загальному випадку ядро композиційного плану становить при ПФЕ, а п...
