Методи побудови функції приналежності вимог до заданого рівня якості
Існує значна кількість методів побудови за експертними оцінками функцій приналежності нечіткої множини m А (х). Виділяють дві групи методів: прямі і непрямі методи.
Прямі методи характеризуються тим, що експерт безпосередньо задає правила визначення значень функції приналежності m А (х), що характеризує елемент х. Ці значення узгоджуються з його перевагами на безлічі елементів Х наступним чином:
1. для будь-яких х1, х2 ГЋ Х m А (х1)
2. для будь-яких х1, х2 ГЋ Х m А (х1) = m А (х2) тоді і тільки тоді, коли х1 і х2 байдужі щодо властивості А.
Прикладами прямих методів є безпосереднє завдання функції приналежності таблицею, графіком або формулою. Недоліком цієї групи методів є велика частка суб'єктивізму.
У непрямих методах значення функції приналежності вибираються таким чином, щоб задовольнити заздалегідь сформульованим умовам. Експертна інформація є тільки вихідною інформацією для подальшої обробки. Додаткові умови можуть накладатися як на вигляд одержуваної інформації, так і на процедуру обробки. Коротка характеристика найбільш часто використовуваних непрямих методів побудови функцій приналежності.
1. Побудова функцій приналежності на основі парних порівнянь
Метод заснований на обробці матриці оцінок, що відображають думку експерта про відносну приналежності елементів безлічі або ступеня вираженості у них деякого оцінюваного властивості.
Зажадаємо, щоб для всіх елементів множини А виконувалося рівність:
(1)
Ступінь приналежності елементів безлічі А буде визначаться за допомогою парних порівнянь. Для порівняння елементів використовуються оцінки, наведені в таблиці 1:
Таблиця 1
Інтенсивність відносної важливості
Визначення
1
Рівна важливість порівнюваних вимог
3
Помірне (слабке) перевага одного над іншим
5
Сильне (суттєве) перевагу
7
Очевидна перевага
9
Абсолютна (переважна) перевагу
2, 4, 6, 8
Проміжні рішення між двома сусідніми оцінками
Оцінку елемента хі по порівняно з елементом хj з точки зору властивості А позначимо через аij. Для забезпечення узгодженості приймемо аij = 1/аji. Оцінки аij складають матрицю S = в•‘ аij в•‘.
Знайдемо W = (w1, ..., wn) - власний вектор матриці S, вирішуючи рівняння
, (2)
де О» - власне значення матриці S.
Обчислені значення, складові власний вектор W, приймаються в якості міри приналежності елемента х до безлічі А: m А (xi) = wi;. Так як завжди виконується рівність S в€™ W = n в€™ W, то знайдені значення тим точніше, чим ближче О»max до n. Відхилення О»max від n може служити мірою узгодженості думок експертів.
2. Побудова функцій приналежності з використанням статистичних даних
Припустимо, що спостерігаючи за об'єктом протягом деякого часу, людина n раз фіксує свою увагу на те, чи має місце факт А чи немає. Подія, що полягає в n перевірках наявності факту А будемо називати оціночним. Нехай в k перевірках мав місце факт А. Тоді експерт реєструє частоту p = k/n появи факту А і оцінює її з допомогою слів "часто", "рідко" і т.п.
На універсальної шкалою [0,1] необхідно розмістити значення лінгвістичної змінної: Досить рідко, більш - менш рідко, більш менш часто, дуже часто. Тоді ступінь приналежності деякого значення обчислюється як відношення числа експериментів, в яких воно зустрічалося в певному інтервалі шкали, до максимальному для цього значення числа експериментів по всьому інтервалам. Метод вимагає виконання умови, щоб в кожний інтервал шкали потрапляло однакове число експериментів. Якщо ця умова не виконується, потрібно додаткова обробка експериментальних даних за допомогою так званої матриці підказок.
3. Побудова функцій приналежності на основі експертних оцінок
Розглянемо особливості побудови функцій належності для наближених точкових (наприклад, Х приблизно дорівнює 10) і інтервальних оцінок (виду Х знаходиться приблизно в інтервалі від 8 до 11). Природно припустити, що функцію, необхідно будувати таким чином:
якщо О± ≤ х ≤ ОІ, то Ој (О±, ОІ) (х) = 1;
якщо х <О±, то Ој (О±, ОІ) (х) = ОјО± (х);
якщо х <ОІ, то Ој (О±, ОІ) (х) = ОјОІ (х),
де Ој (О±, ОІ) (х) - функція належності нечіткому інтервалу (О±, ОІ);
ОјО± (х) і ОјОІ (х) - функції приналежності нечітким множинам чисел, наближено рівних відповідно О± і ОІ.
При побудові функції приналежності чисел, приблизно рівних деякого k, можна використовувати функцію
(3)
де О± залежить від необхідного ступеня нечіткості Ојk (х), і визначається з виразу
(4)
де b - відстань між точками переходу для Ојk (х), тобто точками, в яких функція виду приймає значення 0,5.
Таким чином, завдання побудови Ојk (х) для деякого числа зводитися до відшукання параметрів а і в, щоб можна було визначити ОІ (х), за допомогою ОІ (х) - О± Оё, використовуючи О±, побудувати Ојk (х).
4. Параметричний підхід до побудови функцій приналежності
Описуваний метод побудови функцій належності заснований на припущенні, що експерт характеризуючи лінгвістичне значення якого ознаки, з мінімальним напругою може вказати три точки шкали: А, В, С, з яких В і С - точки, на його думку, ще (або вже) не належать описуваного лінгвістичного значенню, А - точка, безумовно належить йому.
Нехай є параметричне опис термів t і tI двох значень деякої лінгвістичної змінної. Один з термів може являти собою модифікацію (обмеження) іншого: tI = h (t), де h - обмеження на t типу ДОСИТЬ, більш - менш, НЕ ДУЖЕ і т.п. Завдання полягає в тому, щоб використовуючи параметри термів t: (z1, z2, z3) та tI: (П‰1, П‰2, П‰3) описати перехід від t до tI (параметри вважаються впорядкованими ставленням "менше").
Очевидно, що S - образну функцію можна розглядати, як вироджений випадок трикутної функції, в якій один з параметрів z1 або z2 прагне до нескінченності. Таким чином, завдання полягає в тому, щоб описати перехід між якими двома формами
Для вирішення цього завдання використовується апарат автоморфних функцій. Розглянемо дробно-лінійне відображення прямої на себе виду
(5)
перетворення Т-1, зворотне Т, виходить, якщо рівняння
дозволити щодо П‰:
(6)
Таким чином, при параметричному представленні функцій належності задача опису переходу від одного терма t: (z1, z2, z3) до іншого tI: (П‰1, П‰2, П‰3) вирішується безпосереднім підрахунком чотирьох параметрів - коефіцієнтів дробно-лінійного перетворення за формулами:
(7)
Ці ж коефіцієнти при підстановці в (6) визначають зворотний перехід від tI до t.
Розглянемо тепер перехід від терма t трикутної форми до терму tI з S - образної функцією належності. Для дробно-лінійних перетворень цієї нагоди відповідає перехід від однієї з крайніх заданих точок в положення нескінченно-віддаленою точки.
Якщо z1 = в€ћ, то параметри дробно-лінійного перетворення
(8)
Якщо z3 = в€ћ, то
(9)
Розглянемо випадок, коли функції належності представляються S - образної або просто похилій кривою. У цьому випадку має місце лінійне відображення прямої
(10)
Параметри перетворення (10)
(11)
Зворо...
