Алтайський інститут праці та права (філія)
Академії праці і соціальних відносин
Фінансово-економічний факультет
Контрольна робота
з дисципліни Економетрика
на тему
Класичний метод найменших квадратів
Студента 3 курсу 681 групи
Бахтєєвої Тетяни Михайлівни
2010
Метод найменших квадратів (МНК) - один з найбільш широко використовуваних методів при вирішенні багатьох завдань відновлення регресійних залежностей [1]. Вперше МНК був використаний Лежандром в 1806 р. для вирішення задач небесної механіки на основі експериментальних даних астрономічних спостережень. У 1809 р. Гаус виклав статистичну інтерпретацію МНК і тим самим дав початок широкого застосування статистичних методів при вирішенні завдань відновлення регресійних залежностей. Суворе математичне обгрунтування і встановлення кордонів змістовної застосовності методу найменших квадратів дани А.А. Марковим і А.Н. Колмогоровим. Нині спосіб являє собою один з найважливіших розділів математичної статистики і широко використовується для статистичних висновків у різних галузях науки і техніки.
Наведу короткий опис даного методу. Метод найменших квадратів - один з методів регресійного аналізу для оцінки невідомих величин за результатами вимірювань, що містять випадкові помилки. Застосовується також для наближеного представлення заданої функції іншими (простішими) функціями і часто виявляється корисним при обробці спостережень. В даний час широко застосовується при обробці кількісних результатів природничо дослідів, технічних даних, астрономічних і геодезичних спостережень і вимірювань.
Можна виділити наступні достоїнства методу:
а) розрахунки зводяться до механічної процедурі знаходження коефіцієнтів;
б) доступність отриманих математичних висновків.
Основним недоліком МНК є чутливість оцінок до різких викидів, які зустрічаються у вихідних даних.
Розгляну застосування класичного методу найменших квадратів для знаходження невідомих параметрів рівняння регресії на прикладі моделі лінійної парної регресії. Нехай підібрана емпірична лінія, по виду якої можна судити про те, що зв'язок між незалежної змінної і залежною змінною лінійна і описується рівністю:
(1)
Необхідно знайти такі значення параметрів і, які б доставляли мінімум функції (1), тобто мінімізували б суму квадратів відхилень спостережуваних значень результативної ознаки від теоретичних значень (значень, розрахованих на підставі рівняння регресії):
(2)
При мінімізації функції (1) невідомими є значення коефіцієнтів регресії і Значення залежної і незалежної змінних відомі зі спостережень.
Для того щоб знайти мінімум функції двох змінних, потрібно обчислити приватні похідні цієї функції по кожній з оцінюваних параметрів і прирівняти їх до нулю. В результаті отримуємо стаціонарну систему рівнянь для функції (2):
регресивний оцінка обробка результат
Якщо розділити обидві частини кожного рівняння системи на (-2), розкрити дужки і привести подібні члени, то отримаємо систему:
Ця система нормальних рівнянь щодо коефіцієнтів і для залежності
Рішенням системи нормальних рівнянь є оцінки невідомих параметрів рівняння регресії і:
Де - середнє значення залежної ознаки;
- середнє значення незалежного ознаки;
- середнє арифметичне значення твору залежного і незалежного ознак;
- дисперсія незалежного ознаки;
- коваріація між залежним і незалежним ознаками.
Розглянемо застосування МНК на конкретному прикладі.
Є дані про ціну на нафту (доларів за барель) і індексі акцій нафтової компанії (в процентних пунктах). Вимагається знайти емпіричну формулу, що відображає зв'язок між ціною на нафту і індексом акцій нафтової компанії виходячи з припущення, що зв'язок між зазначеними змінними лінійна і описується функцією виду
Залежною змінною в даній регресійної моделі буде являтися індекс акцій нафтової компанії, а незалежною - ціна на нафту.
Для знаходження коефіцієнтів і побудуємо допоміжну таблицю (1).
Таблиця 1.
Таблиця для знаходження коефіцієнтів і
Запишемо систему нормальних рівнянь виходячи з даних таблиці:
Рішенням даної системи будуть наступні числа:
Таким чином, рівень регресії, що описує залежність між ціною на нафту і індексом акцій нафтової компанії, можна записати як:
На підставі отриманого рівняння регресії можна зробити висновок про те, що з зміною ціни на нафту на 1 грошову одиницю за барель індекс акцій нафтової компанії змінюється приблизно на 15, 317 відсоткові пункти.
Метод найменших квадратів є найбільш поширеним методом оцінювання параметрів рівня регресії, і застосуємо тільки для лінійних відносно параметрів моделей або приводяться до лінійних за допомогою перетворення і заміни змінних [2].
Список використаної літератури:
1. Крянев А.В. Застосування сучасних методів математичної статистики при відновленні регресійних залежностей на ЕОМ. Навчальний посібник. М.: 1988. С. 4.
2. Мамаєва З.М. Математичні методи та моделі в економіці. ч 2. Навчальний посібник. Н. Новгород.: 2010. З 17
3. Економетрика. Конспект лекцій. Яковлева А.В. М.: Ексмо, 2008.С. 126.
[1] Крянев А.В. Застосування сучасних методів математичної статистики при відновленні регресійних залежностей на ЕОМ. Навчальний посібник. М.: 1988. 4 с.
[2] Мамаєва З.М. Математичні методи та моделі в економіці. ч 2. Навчальний посібник. Н. Новгород.: 2010. З 17
