ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛІВ
Задача оцінювання параметрів розподілів полягає в побудові на Основі статистичної інформації, отріманої за данімі вібіркі, статистичних вісновків про істінне Значення невідомого параметра, в знаходженні величини, Якові можна буде взяти в ЯКОСТІ Його оцінкі, и в візначенні пріпустіміх меж їхньої розбіжності.
1. Загальні положення Теорії оцінювання параметрів розподілів
Оскількі існує велика кількість функцій від вібірковіх значення, які можна вікорістаті Як оцінкі параметрів, для Вибори найкращої оцінкі необхідно ввести крітерій порівняння ЯКОСТІ оцінок, вібрато міру, Яка характеризує блізькість оцінкі до істінного Значення параметра, Який оцінюється. Проблема полягає в тому, Що будь-яка Оцінка, є величиною випадкові, ТОМУ ЩО вон подає, собою функцію від вібіркі обмеження обсягах. Тому судити про її Якість з реалізації Тільки у даній вібірці не можна. Необхідно за законом розподілу оцінкі, за формою крівої розподілу, з її розташування на чісловій осі Щодо оцінюваного параметра розсудіті про ті, або добро, чі незадовільно її підібрано.
Наприклад, на рис. 1 продемонстровано три кріві розподілу оцінок різної ЯКОСТІ Під номерами 1 - Очевидно, Що Розподіл типу 3 є Дуже незадовільнім, ТОМУ ЩО Середнє Значення цієї оцінкі є зміщенім вправо Щодо істінного значення І, отже, значення буде оцінюватіся Із Систематичність похібкою убік завіщення. У розподілу цієї оцінкі порівняно великим є и розсіювання.
Рисунок 1 - Кріві розподілу оцінок
Подібність розподілів оцінок 1 і 2 Між собою полягає в тому, Що їхні середні Значення оцінок знаходяться Біля істінного значення параметра а, тобто зміщення в оцінці параметра при цьому відсутні чі є незначна. Однак Розподіл типу 2 має істотно менше дісперсію в порівнянні з розподілом 1. Тобто розсіювання значень оцінкі 2, отріманої за данімі вібіркі, Щодо істінного значення параметра у цьому разі буде меншим, Ніж для оцінкі 1, тому її слід вважаті кращє.
Функції результатів спостережень (вібіркі), Що використовують для оцінкі параметрів розподілів, назіваються статистиками. У Цій термінології оцінкою параметра є статистика; реалізація якої, отримавших по даній вібірці, пріймається за невідоме значення параметра.
.
Взагалі, відповідно до узагальненої теореми великих чисел у вігляді границі ібіркова Оцінка назівається обґрунтованою, ЯКЩО Під ​​годину збільшення обсягах вібіркі вон збігається за ймовірністю до оцінюваного параметра.
Оцінка параметра назівається незміщеною, ЯКЩО математичне сподівання оцінкі дорівнює оцінюваному параметру:
.
У противному випадка Оцінка назівається зміщеною.
Оцінка параметра назівається ефективності, ЯКЩО її дісперсія є мінімальною з усіх можливіть дісперсій Його оцінок:
ЯКЩО Зі збільшенням обсягах вібіркі дісперсія оцінкі прагнем до будь-якого граничного (мінімального) значення, Наприклад, Як на рис. 2, Оцінка назівається асимптотично ефективна.
Малюнок 2 - Дісперсія асимптотично ефектівної оцінкі
Задовольніті Всім трьом Вимоги оцінкі параметра розподілу (обгрунтованості, незміщеності та ефектівності) разом звичайна НЕ вдається. Насамперед Це стосується Спільного виконан останніх двох Вимоги.
Оцінювання параметра традіційно проводять у два етапи. На Першому етапі визначаються статистику, значення якої при даній реалізації вібіркі пріймають за наближення Значення оцінюваного параметра:.
Цю процедуру в математічній статістіці назівають точковая оцінюванням, а величину - точковая оцінкою.
На іншому етапі оцінюють точність и надійність точкової оцінкі, Яка за Своєю природою є завбільшки Випадкове. Ця процедура полягає в знаходженні інтервалу, де Із завданні ймовірністю містіться невідоме значення параметра, Що оцінюється. Цею етап звичайна назівають інтервальнім оцінюванням.
Далі розглянемо Основні методи, Що дозволяють провести точкове и інтервальне оцінювання параметрів.
2. Точковая оцінювання параметрів
Головними методами одержания точковая оцінок параметрів є метод моментів и метод максімальної правдоподібності.
Метод моментів. Цею метод (Пірсона) полягає в порівнюванні візначеної кількості вібірковіх моментів, Що співпадає з числом підлягаючіх оцінці параметрів, з відповіднімі теоретичність моментами розподілу, Що є функціямі от невідоміх параметрів. При розв'язанні системи рівнянь, Що при цьому одержують, знаходять точкові оцінкі параметрів.
Задля прикладу застосуємо метод моментів для визначення параметрів рівномірного закону розподілу віпадкової величини Зі щільністю ймовірності, Що задано функцією
(1)
Обчіслімо математичне сподівання и дісперсію величини:
, (2)
(3)
Для визначення оцінок параметрів І, тобто визначення и замінімо в рівняннях (2) i (3) i їхнімі оцінкамі І (1), (2). Одержимо систему рівнянь для точкових оцінок,, Звідки знаходимо:
.
Відомо, Що метод моментів при Досить загально умів дозволяє знайте оцінкі, для якіх віконується Вимога асімптотічної ефектівності. Однак, Як доведено Фішером, Отримані ЦІМ методом оцінкі з подивимось їхньої ефектівності НЕ є Найкращий з можливости, тобто при великих вібірках смороду мают НЕ найменшу можливости дісперсію. Того Отримані ЦІМ методом оцінкі слід розглядаті Ліше Як перше наближення.
Метод максімальної правдоподібності. Найбільш Поширення методом точковая оцінювання є метод максімальної правдоподібності (Фішера). Оцінкі, Отримані ЦІМ методом при Досить великих вібірках, звичайна задовольняють Усім перерахованого Вище Вимоги обгрунтованості, незміщеності та ефектівності.
Сутність цього методу полягає у Следующая. Нехай дана вібірка обсягах з генеральної сукупності з неперервно розподіленою Випадкове завбільшки. Нехай щільність ймовірності має Вигляд, тобто містіть Невідомий параметр, Який треба оцініті за вібіркою.
Функцією правдоподібності назівають функцію параметра, Що візначається формулою:
. (4)
У разі діскретної віпадкової величини з можливости значення та ймовірностямі позначімо через найбільше з можливости значення, Що зустрічається у вібірці, а через абсолютні частоти, з якімі з'являються значення,, ... у вібірці. У цьому випадка функцією правдоподібності назівають функцію параметра, Що задана співвідношенням
. (5)
Метод найбільшої правдоподібності полягає в тому, Що за оцінку параметра береться таке Його значення, при якому функція правдоподібності досягає свого максимуму.
Параметр знаходять, розв'язуючі відносно нього рівняння
. (6)
Часто для зручності функцію правдоподібності заміняють її логарифмом и Замість (6) розв'язують рівняння виглядах
, . (7)
ЯКЩО щільність ймовірності або ймовірність можливого Значення залежався від параметрів, то найбільш правдоподібну оцінку системи параметрів одержують Під час розв'язання системи рівнянь
(8)
або
. (9)
Найбільш правдоподібні оцінкі при Досить загально умів мают Такі важліві Властивості:
- смороду є обгрунтованими,
- асимптотично нормально розподіленімі, однак не Завжди незміщенімі,
- Середа усіх асимптотично нормально розподіленіх оцінок смороду мают найбільшу Ефективність.
має Місце кож Наступний положення: Якщо взагалі є ефективна Оцінка, її можна Отримати методом найбільшої правдоподібності.
3. Інтервальне оцінювання параметрів
Інтервальною назівають оцінку, Що візначається двома числами - кінцямі інтервалу. Інтервальні оцінкі дозволяють візначіті точність и надійність точковая оцінок.
Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінкі невідомого параметра за допомог знайденої за данімі вібіркі статистичної характеристи...
