Довірчий інтервал.
Перевірка статистичних гіпотез
1. Довірчий інтервал
Точкові оцінки є наближеними, оскільки вони вказують точку на числовій осі, в якій повинно знаходитися значення невідомого параметра. Однак оцінка є наближеним значенням параметра генеральної сукупності, яка при різних вибірках одного і того ж обсягу буде приймати різні значення, тому в ряді завдань потрібно знайти не тільки потрібне значення параметра а, але й визначити його точність і надійність.
Для цього в математичній статистиці використовується два поняття - довірчий інтервал і довірча ймовірність. Нехай для параметра а з досвідчених даних отримана незміщена оцінка Потрібно визначити можливу при цьому величину помилки і ймовірність того, що оцінка не вискочить за межі цієї помилки (надійність).
Задамося деякої ймовірністю b (наприклад, b = 0,99) і знайдемо таке значення e> 0, для якого
Уявімо цей вираз в вигляді
Це означає, що з ймовірністю b точне значення параметра а знаходиться в інтервалі l e
l e
Тут параметр а - невипадкова величина, а інтервал l e є випадковим, так як - випадкова величина. Тому ймовірність b краще тлумачити, як ймовірність того, що випадковий інтервал l e накриє точку а. Інтервал l e називають довірчим інтервалом, а ймовірність b - довірчою ймовірністю (Надійністю).
Приклад. Якщо при вимірі якоїсь величини Х вказується абсолютна похибка D х, то це, по суті, означає, що похибка вимірювання, будучи випадковою величиною, рівномірно розподілена в інтервалі (-D х, Dх) і де Х * - вимірювана величина, а х - її точне значення. Тут b = 1, e = D х і l e = (x * - D х, x * + D х).
1.1 Довірчий інтервал для математичного очікування
В якості ще одного приклад розглянемо задачу про довірчому інтервалі для математичного очікування. Нехай проведено n незалежних дослідів вимірювання випадкової величини Х з невідомим математичним очікуванням m x і дисперсією s 2 . На підставі досвідчених даних Х 1 , Х 2 , ... , Х n побудуємо вибіркові оцінки
Потрібно побудувати (Знайти) довірчий інтервал l e , відповідний довірчої ймовірності b, для середнього генерального m x .
Так як середнє вибіркове представляє суму n незалежних однаково розподілених випадкових величин то при достатньо великому обсязі вибірки згідно центральної граничної теореми її закон близький до нормального. Існує емпіричне правило, за яким при обсязі вибірки n Ві 30 вибіркове розподіл можемо вважати нормальним.
Раніше було показано, що Знайдемо тепер таку величину e (b)> 0, для якої виконується рівність
Вважаючи випадкову величину нормально розподіленої, маємо
Після заміни маємо
За табличним значенням функції Лапласа Ф * (z) знаходимо аргумент, при якому вона дорівнює b. Якщо цей аргумент позначити Z b , то тоді
Середнє квадратичне значення наближено можна замінити
де
Таким чином, довірчий інтервал для середнього генерального дорівнює:
l e =
Якщо користуватися табличними значеннями інтеграла ймовірностей
то довірчий інтервал приймає вид
l e =
1.2 Розподіл Стьюдента
При малому обсязі вибірки (N <30) отриманий довірчий інтервал для середнього генерального, що використовує нормальний розподіл випадкової величини, може бути дуже грубим.
Для більш точного отримання довірчого інтервалу необхідно знати закон розподілу випадкової величини при малому обсязі вибірки. Для цього скористаємося наступним результатом. Нехай Х 1 , Х 2 , ... , Х n - Вибірка нормально розподіленої випадкової величини Х, тоді, як доведено, випадкова величина
підпорядковується розподілу Стьюдента c n - 1 ступенем свободи, щільність розподілу якого має вид
де - гамма функція. Ця щільність, як видно з формули, залежить тільки від числа дослідів n. Нижче представлені графіки густин нормованої (m x = 0, s = 1) нормально розподіленої і з розподілом Стьюдента (n = 4) випадкових величин.
нормальний розподіл
f
розподіл Стьдента
0,4
0,3
0,2
0,1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 t
На підставі знайдених можна, користуючись розподілом Стьюдента, знайти довірчий інтервал для m x , відповідний довірчій ймовірності b. Дійсно, так як то
Користуючись таблицею значень інтеграла
за значенням b знайдемо величину а отже, і сам довірчий інтервал l e =
2. Перевірка статистичних гіпотез
Прийняття рішення про параметрах генеральної сукупності відіграє винятково важливу роль на практиці. Розглянемо питання про прийняття рішення на прикладі. Нехай фірма, випускає конденсатори, стверджує, що середнє пробивна напруга конденсаторів дорівнює або перевищує 300 В. Випробувавши 100 конденсаторів, ми отримали, що середнє вибіркове пробивна напруга одно 290 В, а незміщене вибіркове середнє квадратичне відхилення s n = 40 В. Чи можна з довірчою ймовірністю 0,99 стверджувати, що середнє пробивна напруга перевищує 300 В.
Тут нас цікавить одностороння оцінка - середнє пробивна напруга повинна перевищувати 300 В.
Висловимо статистичну гіпотезу - генеральне середнє m x = 300 В, а потім перевіримо, чи відповідає вона результатами спостереження. Оскільки обсяг вибірки більше 30, то вибіркове середнє можна вважати гауссовской випадковою величиною з генеральною дисперсією s 2 В»s n 2 . Введемо центровану і нормовану величину
Твердження про те, що середнє вибіркове напруга еквівалентно твердженням, що випадкова величина
Знайдемо ймовірність того, що гаусівських випадкова величина Z з m z = 0 і s z = 1 приймає значення більше z o :
Ця величина повинна рівнятися довірчої ймовірності 0,99. Тоді й за таблицями значень функції знаходимо аргумент z o = -2,33. Обчислимо тепер спостерігається значення випадкової величини Z:
Ми бачимо, що спостережуване значення z = - 2,5 нe належить інтервалу [-2,33; ВҐ), тому гіпотезу потрібно відкинути.
Наведемо приклад гіпотези з двостороннім оцінкою. Нехай фірма, що випускає стабілітрони певного типу, стверджує, що номінальна напруга стабілізації стабілітронів одно 10 В. Природно, що відхилення напруги стабілізації в меншу або більшу сторони однаково небажано. Висунемо гіпотезу, що генеральне середня напруга стабілізації дорівнює 10 В, а потім перевіримо цю статистичну гіпотезу за результатами спостереження.
Нехай при випробуванні 100 стабілітронів середнє вибіркове одно 10,3 В, а незміщене вибіркове середнє квадратичне відхилення дорівнює 1,2 В. Чи можна з довірчою ймовірністю 0,95 вважати висунуту гіпотезу справедливою? Так як обсяг вибірки більше 30, то можна, як і в попередньому прикладі, вве...
