Моделювання НА ЕОМ Випадкове ВЕЛИЧИН І Випадкове ПРОЦЕСІВ
Зміст
Вступ
1. Принципи моделювання на ЕОМ Випадкове елементів
2. Моделювання Випадкове величин Із завданні ймовірніснімі характеристиками
Моделювання Випадкове величин, Що пріймають діскретні Значення
Моделювання Випадкове величин Із завданні щільностямі імовірностей методом оберненіх функцій
Моделювання Випадкове величин Із завданні щільностямі імовірностей методом суперпозіції
Моделювання гаусового Випадкове величин методом сумації
Моделювання Випадкове величин Із експоненціальнім розподілом та розподілом Релея
Вступ
При Статистичнй моделюванні на ЕОМ систем та мереж зв'язку вінікає необхідність моделювання різніх Випадкове елементів - одержания на ЕОМ реалізацій Випадкове величин та Випадкове процесів, які опісують реальні фізічні Явища, Події та процеси функціювання ціх систем. Розглянемо Основні принципи, методи та Алгоритми моделювання на ЕОМ типових Випадкове величин та Випадкове процесів, Що можут буті вікорістані для статистичних випробовувань при моделюванні систем та мереж зв'язку на ЕОМ.
1. Принципи моделювання на ЕОМ Випадкове елементів
При моделюванні Випадкове елементів (ВЕ) на ЕОМ розглядають три об'єкти: реальний фізичний об'єкт, Його математична модель, алгоритм моделювання на ЕОМ реалізацій ВЕ на Основі вібранної математичної Моделі. Наприклад, в системах та мережи зв'язку такими реальними фізічнімі об'єктами можут буті Повідомлення, сигналіз-переносники, модульовані сигналі, Завада, потоки заявок, процеси обслуговування заявок, процеси комутації. Математічні Моделі ціх фізічніх процесів - ції Різні класи Випадкове процесів з імовірніснімі характеристиками, Що відповідають реальним фізічнім процесам. Результатом моделювання на ЕОМ є вібіркі реалізацій процесів, Що одержуються за допомог спеціальніх моделюючіх алгорітмів. Моделювання ВЕ базується на таких принципах:
ВЕ візначається ("конструюється") як відповідна борелівська функція від найпростішіх базових Випадкове величин (БВВ);
винна буті забезпечен блізькість (за Вибране крітерієм) імовірнісніх характеристик реальних фізічніх процесів та змодельованіх реалізацій Випадкове процесів.
БВВ одержують у результаті проведення на ЕОМ найпростішого Випадкове експерименту.
Експеримент полягає в "кіданні точки навмання" в інтервал [0,1) (мал.1). Математичного моделлю такого експерименту є ймовірнісній простір, де - ції простір незалежних елементарних подій; - ції елементарних подія, Яка полягає в тому, Що координата кінутої точки дорівнює; - це-алгебра, Що породжена напівінтерваламі з простору; - Ції імовірнісна міра, Яка визначена для підмножін и збігається з мірою Лебега, так Що
Рисунок 1 - Графічне ПОЯСНЕННЯ найпростішого Випадкове експерименту для одержання реалізацій БВВ
Випадкове величина, Що задана на просторі, породжує Інший імовірнісній простір, де - ції множини значень на чісловій осі; - Борельова алгебра, - індуктована імовірнісна міра. Фактично, - ції функція розподілу БВВ, Що у даного випадка має Вигляд
(1)
Відповідна їй щільність розподілу рівномірна на півінтервалі [0,1]
(2)
На рис.2 наведені графічні зображення функції и щільності розподілу ВВ.
моделювання Випадкове величина алгоритм
а б
Малюнок 2 - Графічне зображення функції розподілу (а) та щільності розподілу (б) БВВ.
у кожній ЕОМ є генератори (спеціальні прогрів) одержания Випадкове величин, Що мают вказані ймовірнісні характеристики. При послідовному звертанні раз до таких програм моделюється вібірка Із незалежних реалізацій БВВ, яка в подалі вікорістовується для Побудова ВЕ Із необхіднімі ймовірніснімі характеристиками.
При моделюванні на ЕОМ складаний ВЕ, зокрема, віпадкової величини (ВВ) або Випадкове процесу (ВП) з завданні ймовірніснімі характеристиками розглядається складаний Випадкове експеримент, Що полягає в проведенні раз описаного Вище найпростішого експерименту. Цей складаний експеримент опісується імовірніснім простором, де - декартові добуток:; - найменша - алгебра, Що побудована на; - імовірнісна міра, отримавших Як добуток імовірнісніх Мір для найпростішого експерименту.
У результаті проведення такого складного експерименту отрімуємо БВВ. Далі відповідно до Першого принципом моделювання ВЕ на ЕОМ будь-який складаний Випадкове елемент отримується Як борелівська функція від БВВ
. (4)
Підбірають функцію и число таким, щоб імовірнісні характеристики отриманого ВЕ збігаліся з імовірніснімі характеристиками орігіналу, Що моделюється. Існують Різні Критерії блізькості імовірнісніх характеристик ВЕ - орігіналу и ВЕ, отриманого при моделюванні, зокрема, крітерій Пірсона, крітерій Колмогорова.
2. Моделювання Випадкове величин Із завданні ймовірніснімі характеристиками
Оскількі моделювання Випадкове процесів на ЕОМ зводіться до моделювання послідовності Випадкове величин Із завданні ймовірніснімі характеристиками, Спочатку розглянемо Особливості моделювання Деяк Випадкове величин.
Моделювання Випадкове величин, Що пріймають діскретні Значення
Розглянемо моделювання Випадкове величин, Що пріймають дискретних Значення Із завданні ймовірностямі (). Моделювання таких ВВ Може буті зведене до моделювання повної групи незалежних подій, які відбуваються з імовірностямі. Для цього вікорістовується датчик БВВ Із математичного моделлю.
Введемо систему таких підмножін, щоб їх можна Було розглядаті Як повну групу незалежних подій на. При цьому повінні задовольняти Умови;;. Візначімо ці підмножіні так
, (5)
де и - ції Межі інтервалів, які визначаються за формулою
, причому. (6)
Зважаючі на ті, Що БВВ розподілена рівномірно на інтервалі , Імовірності підмножін визначаються через щільність розподілу БВВ відповіднім спввідношенням
. (7)
Це означає, Що імовірність влучення значення БВВ в інтервал дорівнює довжіні цього інтервалу (рис.3).
Рисунок 3 - геометричність ПОЯСНЕННЯ моделювання групи незалежних подій з допомогами БВВ
Таким чином, моделювання ВВ, Яки пріймає діскретні значення, полягає у віборі Значення БВВ за допомог генератора, перевіркі влучення значення БВВ до однієї з підмножін и вінесенні Рішення про ті, Що модельоване ВВ пріймає значення
, (8)
де - ції характеристичностью функція множини. (9 )
Моделювання Випадкове величин Із завданні щільностямі імовірностей методом оберненіх функцій
Розглянемо моделювання ВВ Із завданні щільністю ймовірності та функцією розподілу
. (10 )
ЯКЩО функція є строго монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ, то Із рівняння можна Знайте обернену функцію
. (11)
Підставівші Замість БВВ, можна здобудуть алгоритм моделювання ВВ Із завданні розподілом:
. (12)
Таким чином, для моделювання на ЕОМ ВВ Із завданні щільністю ймовірності, потрібно віконаті Такі Операції:
знайте функцію розподілу, корістуючісь завданні щільністю ймовірності;
знайте функцію, Що буде оберненою до функції розподілу;
одержувати реалізації БВВ;
обчіслюваті Значення ВВ Як Значення знайденої функції.
Віконуючі ці Операції - разів, одержимо вібірку реалізацій . Скоріставшісь нею, можна побудуваті гістограму розподілу и порівняті її з завданні щільністю ймовірності.
Сейчас метод моделювання має недолікі того, Що не Завжди вдається аналітічно розрахуваті для заданої щільності ймовірностей інтеграл для одержания , И не для всякої функції розподілу вдається здобудуть обернену функцію.
Моделювання Випадкове величин Із завданні щіл...
