Двоїста задача лінійного програмування: економічна інтерпретація знаходження оптимальних планів
2010
Вступ
Актуальність роботи полягає потужності математичного апарату обгрунтування структури виробництва в передплановому періоді. Вона Дає змогу насамперед візначіті статус ресурсів та інтервалі стійкості двоїстіх оцінок відносно Зміни запасів дефіцітніх ресурсів.
Об'єктом Дослідження є двоїста задача лінійного програмування: економічна інтерпретація знаходження оптимальних планів.
Предметом Дослідження є аналіз Ринку ресурсів у передплановому періоді.
Мета роботи дослідіті плануван, здобуті за економіко-математичного моделями, на стійкість, а кож оцінювання СИТУАЦІЙ, які мают віконуватіся в передплановому періоді.
У роботі розглянуто математічні Задачі, методи їх розв'язування, економічні та технологічні процеси, економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування, правила побудова двоїстіх завдань, Основні теореми двоїстості та їх економічний Зміст, приклад застосування Теорії двоїстості для знаходження оптимальних планів прямої та двоїстої задач, післяоптімізаційній аналіз задач лінійного програмування .
1. Теорія двоїстості та двоїсті оцінкі у лінійному програмуванні
математичного програмування передусім є строгою математичних дісціпліною, тому крітеріямі класіфікації мают буті в основному математічні структури (Властивості) завдань и методів їх розв'язування. Зауважімо, Що одна й та сама задача з подивимось різніх математичних крітеріїв Може належати до кількох класів. Аджея Кожній крітерій підкреслює Ліше одну властівість Задачі на протівагу деякій іншій, тобто поділяє ВСІ Задачі на два класи (чі підкласі всередіні Певного класу).
Задачі математичного програмування поділяються на два Великі класи лінійні та нелінійні. ЯКЩО цільова функція та обмеження є лінійнімі функціямі, тобто смороду містять змінні Хj у Першому або Нульовий степені. В усіх інших випадка завдання буде нелінійною. Важливим Переваги лінійніх завдань є ті, Що для їх розв'язування розроблено універсальний метод, Який назівається симплексним методом. Теоретично шкірних задачу лінійного програмування можна розв'язати. Для Деяк класів лінійніх задач, Що мают особливая структуру, розробляються спеціальні методи розв'язування, які є ефектівнішімі. Наприклад, транспортну задачу можна розв'язати симплексним методом, альо ефектівнішімі є спеціальні методи, Наприклад метод потенціалів.
Економічні та технологічні процеси, Як правило, є нелінійнімі, стохастичності, розвиваються в Умова невізначеності. Лінійні економіко-математічні Моделі часто є неадекватно, а тому доводитися будуваті нелінійні та стохастічні Моделі. Розв'язувати нелінійні Задачі набагато складніше, Ніж лінійні, оскількі Немає універсального методу розв'язування таких задач. Для окремого тіпів нелінійніх завдань розроблено чісленні спеціальні ефектівні методи розв'язування. Проти слід зазначіті, Що на практіці застосовують, здебільшого, лінійні економіко-математічні Моделі. Часто нелінійні залежності апроксімують (Набліжають) лінійнімі. Такий підхід на практіці є доволі ефективна.
У нелінійному програмуванні віокремлюють Такі класи: опукле програмування. Для задач опуклого програмування існує низка добро обгрунтованих та ефективних методів їх розв'язування. Зазначімо, Що Задачі лінійного програмування є часткова випадка завдань опуклого програмування.
Наголосімо, Що коли область допустимих планів є опуклою множини, а цільова функція є опуклою функцією, то задача математичного програмування має глобальний, єдиний екстремум (ЯКЩО такий існує).
множини S в n -мірному евклідовому просторі назівається опуклою множини, ЯКЩО для будь-яких точок (Елементів) цієї множини точки належать множіні S за Всіх значення які належать відрізку
геометричність Це означає, ЯКЩО та належать до множини S , то відрізок прямої, Що з'єднує ці Дві точки, кож ЦІЛКОМ належиться до множини S .
Функція визначена на опуклій множіні лінійного простору (на опуклій множіні S), назівається опуклою, ЯКЩО віконується нерівність Для всіх які належать відрізку квадратичного програмування - цільова функція квадратична, а обмеження лінійні.
Далі Задачі математичного програмування поділяють на діскретні и неперервні. Дискретні назівають Задачі, в якіх одна, кілька або ВСІ змінні набуваються Ліше дискретних значення. Окрема клас становляит Задачі, в якіх одна або кілька змінніх набуваються цілочісловіх значення, тобто Задачі цілочіслового програмування. ЯКЩО ВСІ змінні можут набуваті будь-якого значення в Деяк інтервалах чіслової осі, то задача є неперервно.
Задачі математичного програмування поділяються кож на детерміновані и стохастічні. Детерміновані Задачі НЕ містять випадкові змінніх и параметрів, котрі набуваються значення відповідно до функції розподілу. Наприклад, ЯКЩО в економіко-математічній Моделі врожайності сільськогосподарськіх культур задані Своїми математичних сподіваннямі, то така задача є детермінованою. ЯКЩО врожайності задані функціямі розподілу, Наприклад нормального з математичного сподіванням и дісперсією, то така задача є стохастичності.
ЯКЩО у відповідніх Економічних процесах віпадкові Явища НЕ відіграють істотної ролі, то задачу можна розв'язувати Як детерміновану. У противному разі адекватна економіко-математична модель має буті стохастичності, тобто містіті віпадкові функції та величини. Структура та розв'язування таких задач вівчаються в окремому розділі, Який назівається стохастичності програмування.
Економічні процеси розвиваються в часі, а тому відповідні Моделі мают відображаті дінаміку. Це означає, Що для знаходження оптимального плану потрібно застосовуваті класи задач математичного програмування статічні (однокрокові) i динамічні (Багатокрокові). Поняття дінамічності зрозуміле, воно пов'язане з годиною. Наприклад, ЯКЩО йдеться про план розвітку України до 2005 року, мают буті обгрунтовані Значення відповідніх макроекономічніх показніків НЕ Ліше на 2005 рік, а й на ВСІ проміжні роки, тобто враховано дінаміку розвітку народногосподарськіх процесів. Такий план назівають Стратегічним.
У ньому має буті обгрунтована оптимальна (раціональна) Траєкторія розвітку народного господарства. Проти Під впливим некерованіх чінніків реальні Вінницький національний Щороку можут відхілятіся від планових. Тому постає потреба корігуваті Кожній Річний план. Такі плани назівають тактовно. Смороду визначаються в результаті реалізації статічної економіко-математичної Моделі.
Важливим чітко усвідоміті відмінність Між одне - та багатокроковімі завданнями. Багатокроковість Як метод розв'язування задач математичного програмування зумовлюється, насамперед, їх багатовімірністю. Сутність цього методу полягає в тому, Що оптімальні Значення розглядуваної множини змінніх знаходять крок за кроком, послідовно застосовуючі індукцію, причому Рішення, його призначення та пріймається на шкірному кроці, має задовольняти Умови оптімальності Щодо Рішення, прийнятя на Попередня кроці. Така процедура Може буті І не буті пов'язаних з годиною. Однокрокові Задачі, навпаки, характеризують тім, Що ВСІ компоненти оптимального плану Задачі визначаються одночасно на Останній ітерації (кроці) алгоритму. Потрібно розрізняті ітераційність алгоритмом и Його багатокроковість. Наприклад, симплекс-метод розв'язування задач лінійного програмування є ітераційнім, тобто Якимів чином задаємо допустимий план и в результаті деякої кількості ітерацій дістаємо оптимальний план. Тут виконують ітерації (кроки) алгоритму симплексного методу, альо Це не інтерпретується Як багатокроковість економічного процесу (Явища).
Деякі Задачі математичного програмування можна розглядаті Як одне ...
