КОНСПЕКТ
з дисципліни В«Математичні моделі в менеджменті та маркетингу В»
1. Методи багатокритеріальної оптимізації
У реальних системах управління задачу оптимізації доводиться вирішувати з урахуванням декількох критеріїв ефективності одночасно. У загальному випадку задача багатокритеріальної (Векторної) оптимізації ставиться наступним чином.
Є безліч X різних (альтернативних) варіантів вирішення задачі управління. Варіант вирішення - Це конкретне значення вектора параметрів управління, тобто конкретний варіант плану виробництва, або варіант завантаження устаткування, або варіант стратегії управління і т.п.
Кожен варіант рішення х € Х оцінюється вектором критеріїв
Очевидно варіант Х В° є строго оптимальним, якщо
де y i ext - мінімальне або максимальне значення критерію y i , в залежності від вимог оптимізації.
Однак у реальних системах існування строго оптимального рішення У В° малоймовірно, а часто і неможливо через суперечності взаємопов'язаних критеріїв. Наприклад, при зростанні обсягів виробництва зростає і витрата ресурсів, хоча обсяг треба максимізувати, а ресурси мінімізувати.
Практичний інтерес представляє пошук існуючих варіантів, близьких до оптимального. Такими варіантами є так звані Парето-оптимальні варіанти, складові безліч P ГЊ X •
Варіант x * ГЋ Р якщо значення приватного критерію y i ( x *) для будь-якого i , можна поліпшити лише за рахунок погіршення інших приватних критеріїв. Іншими словами, варіант X оптимальний за Парето, якщо не знайдеться ні одного іншого варіанту X '€ Х , такого, для якого
причому хоча б для одного i виконується
Тут і далі передбачається, що всі приватні критерії треба мінімізувати.
Для пошуку Х ГЋ Р використовується два підходи:
- векторний критерій У перетворює (Згортають) в узагальнений скалярний критерій Yc а потім застосовують відомі однокрітеріальним методи оптимізації (лінійне, нелінійне, стохастичне програмування і т.п.);
- застосовують спеціальні методи багатокритеріальної оптимізації безпосередньо по векторному критерію У . .
Розглянемо деякі способи згортки. Найбільш простий спосіб - виважене лінійне підсумовування приватних критеріїв .
де a-коефіцієнт важливості (вага) приватного критерію Y i . . Для визначення значень коефіцієнтів застосовують експертні методи. Використовувати лінійну згортку підсумовуванням не можна, якщо існує нелінійна залежність приватних критеріїв між собою.
Якщо один з приватних критеріїв набагато важливіше інших, для яких відомі їх гранично допустимі значення b i , то оптимізація проводиться по найбільш важливого (головного) критерієм Ус = Y i а для решти критеріїв встановлюються обмеження:
Якщо вдалося впорядкувати всі приватні критерії по важливості, але не вдалося визначити їх вага a і граничні значення b, то можна спробувати використати метод послідовних поступок. У цьому методі на першому кроці проводиться пошук X 1 * , оптимального за найважливішого критерію y 1 . Інші критерії при цьому ігноруються. На 2-му кроці виконується пошук Х * 2 , Оптимального за критерієм y 2 а на погіршення критерію y 1 накладається обмеження
де D 1 - поступка, яка характеризує допустиме відхилення y 1 від його мінімального значення, знайденого на 1-му кроці.
Для простоти передбачається, що всі критерії треба мінімізувати.
На t , - ом кроці відшукується X t * , для якого
Нарешті, на n. -Ом кроці відшукується X * = X n , для якого
Ще один спосіб згортки - вибір в якості узагальненого скалярного критерію евклідова відстані аналізованого варіанта X до строго оптимального (ідеального) варіанти Х В°. Сам варіант X 0 може не існувати, але так як вимірювання відстані виконується в критеріальною просторі, то повинні бути відомі екстремальні значення цих критеріїв.
Згортка в цьому випадку має вигляд
Зауваження I. Для оптимізації по У с, (зважене підсумовування , евклідова відстань) або для покрокової оптимізації по приватним критеріям (методи головного критерію та послідовник них поступок) необхідно обчислювати значення приватних критеріїв
По суті необхідно вирішувати завдання прогнозу та оптимізації по кожному y i і по y c для чого використовуються відомі моделі та методи оптимізації.
Зауваження 2. При оптимізації по y c необхідно, щоб критерії y i були нормалізовані, тобто приймали значення у фіксованому інтервалі, наприклад [0, l] і були безрозмірні. Якщо відомі верхня y в і нижня y н границі зміни критерію y i , то нормалізоване значення y i визначається як
Приклад, Є два проекту програмного забезпечення автоматизованої підсистеми оперативного управління прокатним виробництвом. Кожен варіант характеризується наступним набором приватних критеріїв:
y 1 - витрати на розробку, руб.
y 2 - термін розробки, рік;
y 3 - час вирішення задач на ЕОМ, год;
y 4 - необхідну кількість розробників, чол.;
y 5 - кількість вивільнюваних штатних співробітників після впровадження системи , чол.
Визначити кращий проект програмного забезпечення, використовуючи для отримання узагальненого критерію оптимальності метод евклідової метрики.
Вихідні дані для розрахунку наведені в табліце.Номер варіанти і характеристики приватних критеріїв
Приватні критерії
y 1
y 2
y 3
y 4
y 5
Варіант I
25000
3
2,5
10
I
Варіант 2
30000
2
2,2
12
2
Варіант замовника (ідеально y iext )
20000
3
2
10
2
Відносний коефіцієнт значущості окремих критеріїв ( a i )
0,4 ​​
0,3
0,1
