КОНТРОЛЬНА РОБОТА
по дисципліни В«Планування і прогнозування
в умовах ринку В»
на тему: Довірчі інтервали прогнозу
Оцінка адекватності та точності моделей
Зміст
Глава 1. Теоретична частина. 3
Глава 2. Практична частина. 9
Список використаної літератури .. 13
Глава 1. Теоретична частина
Довірчі інтервали прогнозу. Оцінка адекватності та точності моделей
1.1 Довірчі інтервали прогнозу
Заключним етапом застосування кривих зростання є екстраполяція тенденції на базі обраного рівняння. Прогнозні значення досліджуваного показника обчислюють шляхом підстановки в рівняння кривої значень часу t , відповідних періоду попередження. Отриманий таким чином прогноз називають точковим, так як для кожного моменту часу визначається тільки одне значення прогнозованого показника.
На практиці в доповненні до точкового прогнозу бажано визначити межі можливої вЂ‹вЂ‹зміни прогнозованого показника, задати "Вилку" можливих значень прогнозованого показника, тобто обчислити прогноз інтервальний.
Розбіжність фактичних даних з точковим прогнозом, отриманим шляхом екстраполяції тенденції по кривих росту, може бути викликано:
1. суб'єктивної ошибочностью вибору виду кривої;
2. похибкою оцінювання параметрів кривих;
3. похибкою, пов'язаної з відхиленням окремих спостережень від тренду, що характеризує деякий середній рівень ряду на кожен момент часу.
Похибка, пов'язана з другим і третім джерелом, може бути відображена у вигляді довірчого інтервалу прогнозу. Довірчий інтервал, враховує невизначеність, пов'язану з положенням тренда, і можливість відхилення від цього тренда, визначається у вигляді:
(1.1.),
де n - довжина тимчасового ряду;
L-період попередження;
y n + L -Точковий прогноз на момент n + L;
t a - значення t-статистики Стьюдента;
S p - середня квадратична помилка прогнозу.
Припустимо, що тренд характеризується прямою:
Так як оцінки параметрів визначаються за вибіркової сукупності, представленої тимчасовим рядом, то вони містять похибку. Похибка параметра а про призводить до вертикального зсуву прямої, похибка параметра a 1 - до зміни кута нахилу прямої відносно осі абсцис. З урахуванням розкиду конкретних реалізацій щодо ліній тренда, дисперсію можна представити у вигляді:
(1.2.),
де - дисперсія відхилень фактичних спостережень від розрахункових;
t 1 - час попередження, для якого робиться екстраполяція;
t 1 = n + L
t - порядковий номер рівнів ряду, t = 1,2, ..., n;
- порядковий номер рівня, що стоїть в середині ряду,
Тоді довірчий інтервал можна представити у вигляді:
(1.3.),
Позначимо корінь у виразі (1.3.) через К. Значення К залежить тільки від n і L, тобто від довжини ряду і періоду попередження. Тому можна скласти таблиці значень К або К * = t a K. Тоді інтервальна оцінка буде мати вигляд:
(1.4.),
Вираз, аналогічне (1.3.), можна отримати для полінома другого порядку:
(1.5.),
або
(1.6.),
Дисперсія відхилень фактичних спостережень від розрахункових визначається виразом:
(1.7.),
де y t - фактичні значення рівнів ряду,
- розрахункові значення рівнів ряду,
n - довжина часового ряду,
k - Число оцінюваних параметрів вирівнюючої кривої.
Таким чином, ширина довірчого інтервалу залежить від рівня значущості, періоду попередження, середнього квадратичного відхилення від тренда і ступеня полінома.
Чим вище ступінь полінома, тим ширше довірчий інтервал при одному і тому ж значенні S y , так як дисперсія рівняння тренда обчислюється як зважена сума дисперсій відповідних параметрів рівняння
Малюнок 1.1. Довірчі інтервали прогнозу для лінійного тренда
Довірчі інтервали прогнозів, отриманих з використанням рівняння експоненти, визначають аналогічним чином. Відмінність полягає в тому, що як при обчисленні параметрів кривої, так і при обчисленні середньої квадратической помилки використовують не самі значення рівнів часового ряду, а їх логарифми.
За такою ж схемою можуть бути визначені довірчі інтервали для ряду кривих, що мають асимптоти, у випадку, якщо значення асимптоти відомо (наприклад, для модифікованої експоненти).
У таблиці 1.1. наведені значення К * в залежності від довжини тимчасового ряду n і періоду попередження L для прямої і параболи. Очевидно, що при збільшенні довжини рядів ( n ) значення К * зменшуються, із зростанням періоду попередження L значення К * збільшуються. При цьому вплив періоду попередження неоднаково для різних значень n : чим більше довжина ряду, тим менша вплив робить період попередження L .
Таблиця 1.1.
Значення К * для оцінки довірчих інтервалів прогнозу на основі лінійного тренду і параболічного тренду при довірчій ймовірності 0,9 (7).
Лінійний тренд
Параболічний тренд
Довжина ряду (п)
Період попередження (L)
1 2 3
довжина ряду (п)
період попередження (L)
1 2 3
7
2,6380 2,8748 3,1399
7
3,948 5,755 8,152
8
2,4631 2,6391 2,8361
8
3,459 4,754 6,461
9
2,3422 2,4786 2,6310
9
3,144 4,124 5,408
10
2,2524 2,3614 2,4827
10
2,926 3,695 4,698
11
2,1827 2,2718 2,3706
11
2,763 3,384 4,189
12
2,1274 2,2017 2,2836
12
2,636 3,148 3,808
13
2,0837 2,1463 2,2155
13
2,536 2,965 3,516
14
2,0462 2,1000 2,1590
14
2,455 2,830 3,286
15
2,0153 2,0621 2,1131
15
2,38...
