Зміст
Розділ 1. Теоретичні Відомості про візначній інтеграл .................................... 5
1.1 Задачі, Що призвели до Поняття визначеного інтеграла ........................... 5
1.2 Означення визначеного інтеграла та Його Зміст ................................... 7
1.3 Основні Властивості визначеного інтеграла ........................................ 9
1.4 Зв'язок Між визначеня та невизначенності інтеграламі ........................ 10
Розділ 2. Практичне застосування визначеного інтегралу в економіці .......... 18
Список використаної літератури ............................................................. 34
Вступ
Інтеграл - Одне з найважлівішіх зрозуміти математики, Що вінікло у зв'язку з потребою, з однієї Сторони відшукуваті функції по їхніх похідніх (Наприклад, знаходіті функцію, Що віражає шлях, пройдений точкою, Що рухається, по швідкості цієї точки), а з іншого боку - вімірюваті площі, обсяг, довжина дуг, роботу сил за Певний проміжок часу й т.п.
Символ інтегралу Уведення Лейбніцем. Цей знак є зміною латинської букви S (Першої букви слова торба). Саме слово інтеграл придумавши Я. Бернуллі. Імовірно, воно походити від Латинська іntegero, Що переводитися Як приводити в колішній стан, відновлюваті. Можливіть походження слова інтеграл Інше: слово іnteger означає Цілий.
<p> Виникнення Завдання інтегрального вірахування пов'язане Зі знаходженням площ й обсягів. Ряд Завдання такого роду БУВ вірішеній математиками древньої Греції. Антична математика внесла Ідеї інтегрального вірахування в однозначно більшому ступені, чім діференціального вірахування. Більшу роль при рішенні таких Завдання гравер вічерпній метод, створеня Евдоксом Кнідськім и широко застосовувався Архімедом.
Однак Архімед НЕ віділів загально змісту інтеграційніх прійомів и зрозуміти про інтеграл, а тім Більше НЕ створі алгоритму інтегрального вірахування. Учені Середней ї близьким Відразу в ІX-XV ст. Вивчай ї переводили праці Архімеда на загальнодоступну у їхньому середовіщі арабською мову, альо істотно нових результатів в інтегральному вірахуванні смороду не здобули [2].
Діяльність європейськіх учених у цею годину Була галі більш скромною. Лише в XVІ ї XVІІ століттях Розвиток природничих наук поставило перед математикою Європи Гірськолижний ряд нових Завдання, зокрема Завдання на знаходження квадратур (Завдання на обчислення площ фігур), кубатур (Завдання на обчислення обсягів тіл) i визначення центрів ваги.
Праці Архімеда, упершись відані в 1544 р. (На латінській и грецькій мовах), стали прівертаті широку Увага, и їхнє Вивчення з'явилося одним з найважлівішіх відправніх пунктів розвітку інтегрального вірахування. Архімед передбачена Багато ідей інтегрального вірахування. Альо треба Було Більше півторі тисяч РОКІВ, дере Ніж ці Ідеї знайшлі чітке вираженість ї булі доведені до рівня вірахування.
Математики 17 ст., Що здобули Багато нових результатів, учіліся на працях Архімеда. Активно застосовувався й Інший метод - метод неподільніх, котрой кож зародівся в Древній Греції. Наприклад, кріволінійну трапецію смороду уявляєтся собі складеної з вертикальних відрізків довжина f (x), Якиме протікають пріпісувалі площа, рівну нескінченно Малій велічіні f (x) dx. Відповідно до такого розуміння Шукало площа вважалася рівній сумі S = нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, Що окремі доданкі в Цій сумі - нулі, альо нулі особливого роду, які складені в нескінченному чіслі, дають ЦІЛКОМ позитивні торбу.
На такий гаданій тепер щонайменш сумнівній Основі І. Кеплер (1571 - 1630) у своїх творах "Нова Астрономія" (1609) і "Стереометрія вінніх бочок "(1615) правильно Обчислено низку площ (Наприклад площа фігурі, обмеженої еліпсом) i обсягів (Тіло різалося на нескінченно тонкі пластинки).
У 17 ст. булі зроблені Багато відкріттів, Що ставлять до інтегрального вірахування. Так, П. Ферма Вже в 1629 р. вірішів Завдання квадратури будь-якій крівій, и на Цій Основі вірішів ряд Завдання на знаходження центрів ваги. І. Кеплер при висновка своїх знаменитих законів руху планет, ФАКТИЧНО опірався на ідею наближення інтегрування. І. Барроу (1603-1677), учитель Ньютона, близьким підійшов до розуміння зв'язку інтегрування й діференціювання. Велике значення малі роботи з Подання функції у вігляді статечне рядів [6].
Однак при всій значімості результатів, отриманого з 17 ст., вірахування галі не Було. Необхідно Було віділіті Загальні Ідеї, Що лежати в Основі Рішення багатьох Конфіденційність Завдання, а кож Встановити зв'язок операцій діференціювання ї інтегрування, Що Дає Досить точний алгоритм. Це зроб Ньютон и Лейбніць, Що відкрілі Незалежності друг від друга факт, відомій вам за Назв формули Ньютона -Лейбніца. Тім самим остаточно оформівся загальний метод. Стояло галі навчітіся знаходіті первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового вірахування ї т.п. Альо головне Вже Було Зроблено: діференціальне ї інтегральне вірахування створене.
Методи математичного аналізу активно розвивалась в Наступний сторіччі (у дерло Черга Варто назваті ІМЕНА Л. Ейлера, Що завершило систематичне Дослідження інтегрування елементарних функцій, и І. Бернуллі).
Строгий викладу Теорії інтеграла з'явилося Тільки в минуло столітті, Рішення цього Завдання пов'язане з іменамі О. Коші, одного з найбільшіх математіків німецького вченого Б. Рімана (1826-1866), французький математика Г. Дарбу (1842-1917).
Відповіді на Багато харчування, пов'язані з існуванням площ ї обсягів фігур, булі Отримані Зі створенням К. Жорданом (1826 -1922) Теорії мірі.
Різні узагальнення Поняття інтеграла Вже на качанах 20 сторіччя булі запропоновані Французька математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974) Радянська математиком А. Я. Хічінім (1894-1959).
Об'єкт роботи - інтегральне вірахування. Предмет роботи - застосування інтегрального вірахування в економіці.
Задачі роботи: розглянуті Поняття визначеного інтегралу та Його застосування в економіці.
Розділ 1. Теоретичні Відомості про візначній інтеграл
1.1 Задачі, Що призвели до Поняття визначеного інтеграла
Розглянемо Дві Задачі - геометричність та фізічну.
1. Обчислення площі кріволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервно функція у = f (х) i будемо Поки Що вважаті, Що f (х) 0 для усіх x є [а, А].
Фігуру, Обмеження кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, назівають кріволінійною трапецією. В окремому випадка Може f (а) = 0 або f (b) = 0 и тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.
Для обчислення площі S цієї кріволінійної трапеції поділімо відрізок [а, b] довільнім чином на n частин точками
а = х0
довжина ціх частин
перпендикуляр до осі 0х, проведені Із точок ділення до Перетин Із кривою у = f (х), розділяють усю площе трапеції на n вузьких кріволінійніх трапецій. Замінімо Шкірні Із ціх трапецій прямокутник з основою та висотою, де. Площа шкірного такого прямокутник дорівнює
Сума площ усіх таких прямокутніків буде дорівнюваті
Таким чином, площа S кріволінійної трапеції набліжено дорівнює Цій сумі, тобто
Ця формула буде тім точнішою, чім менше величина.
Щоб здобудуть Точні формули для обчислення площі S кріволінійної трапеції, треба в Цій формулі перейти до границі, коли Тоді
(1)
2. Обчислення шляху, Який пройшла точка. Нехай потрібно візначіті шлях S, Який пройшла матеріальна точка, Що рухається в одному напрямі Із змінною швідкістю V (t) за годину від t0 до T [3].
Поділімо проміжок часу T-t0 на n частин: О”t1, О”t2, ..., О”tn.
Позначімо через довільній момент годині Із проміжку О”tk...
