МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИУКРАЇНА
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім.Шевченка
Факультет фізики та астрономії
РЕФЕРАТ
НА ТЕМУ: просторово-часових МЕТРИКА, РІВНЯННЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ.Ньютоновой НАБЛИЖЕННЯ
Виконала: студентка ІV курсу
Група 103 В
Голуб Наталія
Київ 2009
Зміст
1. Просторово-часових МЕТРИКА
1.1 Швидкість світла
1.2 Шварцшільдови координати
1.3 Ізотропні координати
2. РІВНЯННЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ
2.1 Рівняння енергії
2.2 Шкали часу
3. Ньютоновой НАБЛИЖЕННЯ
1. Просторово-часовихМЕТРИКА
Вчотиривимірному риманова просторі загальний вираз для інтервалу міждвома подіями виражається похідними
наступним чином:
(1.1.1)
де - вільні індекси (а непозначення ступенів), і, крім того, прийнятозвичайне правило підсумовування (повторюваний вільний індекс припускаєпідсумовування по всім його значенням 0,1,2, 3). Таким чином, вираз (1.1.1) являє собою суму 16 членів.Значення - функціїкоординат; вони визначають собою метрику простору.
У відповідності із загальною теорієювідносності ця метрика залежить від розподілу матерії; значення задовольняютьдеяким диференціальним рівнянням в приватнихпохідних, відомим як рівняння Ейнштейна. Така метрика називається просторово-часової.
Послідовністькоординат рухається частинки описує її В«світовулінію В», зокрема, світова лінія частинки, вільно переміщається вгравітаційному полі, називається геодезичною.
Длянаших цілей достатньо обмежитися розглядом статичного сферичносиметричного поля, створюваного єдиною ізольованою масою. Ототожнити з просторовимикоординатами відносно центру симетрії, а тимчасової координатою, позначивши її через t. Припущення про статичності поляувазі, що значення неє функціями t, а радіальниймасштаб може бути визначений як довільна функція радіусу. Оскільки цеймасштаб обраний, диференціальні рівняння, що описують геодезичну, заданіповністю.
Тим неменше залишається вільним ще вибір простору координат що еквівалентно виборугеометричної проекції при побудові двомірних карт. Аткінсон [8] показав,що релятивістські властивості сферично симетричного поля можна строго описатив рамках тривимірного евклідового простору, оскільки припущення просферичної симетрії увазі незмінність виду метрики при евклідовихперетвореннях просторових координат.
Беручитаку точку зору, ми визначаємо евклідів простір трьома взаємноортогональними декартовими осями з початком в центрі симетрії; ця системакоординат описує спочиваючу систему відліку. Визначимо координатний вектор хі координатну швидкість як тривимірні евклідові вектори,компоненти яких соответствен
Якщо - одиничний вектор унапрямку х, то найбільш
загальневираз інтервалу ввипадку статичного сферично симетричного поля має вигляд
(1.1.2)
де - константа, - функції радіуса (в етойформуле і далі всііндекси - показники ступеня).
Розглянемотільки так звані временноподобние інтервали, для яких в цьому випадку т називається В«власнимВ» часом. Аткінсон[9] показав, що рівняння Ейнштейна приводять до двох співвідношенням міжкоефіцієнтами формули (1.1.2), які в наших позначеннях такі:
(1.1.3)
(1.1.4) де - інша константа, а також
Вибором , як довільної функціїрадіальної координати, можна описати нескінченне число сферично симетричнихметрик, що задовольняють рівнянням Ейнштейна. Єдина умова, якуповинно бути при цьому задоволено, полягає в тому, що прінінимі словами,на нескінченному відстані від початку координат виразінтервалу приймає вигляд (1.1.5)
якийзадає плоску метрику Маньківського спеціальної теорії відносності. Системавідліку, в якій метрика має вигляд (1.1.е), називається інерціальній аболорентцевой системою відліку.
1.1Швидкість світла
Світовалінія фотона, звана нульовою геодезичної, визначається так, що завжди дорівнює нулю.Рівняння (1.1.5) показує, що на нульовий геодезичної в нескінченномувидаленні від початку
т. тобтокоординатна швидкість світла в В«порожньомуВ» просторі дорівнює , Проте в нашому евклідовомупросторі координатна швидкість світла не дорівнює . Прийнявши в маємо
(1.1.6)
щоеквівалентно
(1.1.7)
Швидкістьсвітла в довільній точці х залежить від радіальної координати і напрямки. Врадіальному напрямі швидкість задається формулою
в точас як в тангенціальному напрямі
і, отже,
1.2 Шварцшільдовикоординати
Розглянемоперетворення просторових координат
де завжди дорівнює .
Диференціюючице вираз і враховуючи, що отримуємо
звідкивипливає, що
і
Зформул видно,що вираз (1.1.2) для інтервалу перетвориться до вигляду
Де
Вираз -векторна форма метрики в стандартних координатах Шварцшильда; відповіднускалярну форму в сферичних координатах, як суворе рішення рівняньЕйнштейна, вперше отримав в 1916 р. К. Шварцшильда.
Мипоказали, що загальний вираз (1.1.2) за допомогою формул (1.1.3) і (1.1.4) можебути приведене до шварцшільдовой формі (1.1.12) шляхом чисто алгебраїчногоперетворення співвідношення (1.1.8). Таким чином, рівняння, виведені звикористанням метрики Шварцшильда, можна перетворити до деякої загальноїсферично симетричної метриці.
1.3Ізотропні координати
Розглянемосистему координат, яка визначається формулою
ВВідповідно до (1.1.3), отримуємо
Диференціюючи(1.1.14) по ![]()
