Простір безнескінченності
А,дійсно, якщо Всесвіт не нескінченна ...
Може такебути?
Виявляється,може.
І навіть не втому розумінні, що вона займає частину простору. Всесвіт може займати івесь простір, але це простір не має місць в математиці позначуванихзнаком в€ћ (нескінченність).
Щоб зрозумітице, нам належить зробити всього три кроки.
Спочаткузобразимо такий простір в загальних контурах, а потім почнемо промальовувати всідеталі.
Отже, крокперший.
Одномірнепростір.
У повсякденнійрозумінні воно представляється нам чимось типу числової прямої.
На прямійвідзначимо початок відліку - точку О і від неї в одну сторону зі знаком плюс (+), віншу зі знаком мінус (-), через рівні інтервали, що називаються одиницеювимірювання, зробимо розмітку +1, +2, +3, ..., + в€ћ і, відповідно, -1, -2,-3, ..., - в€ћ. Тобто і з одного, і з іншого боку стоять знаки в€ћ - цеодномірне нескінченний простір.
Тут задаємонаше запитання: В«Чи може існувати одномірне простір, не містить в€ћ?В»
Виявляється,може.
Впервісної замальовці будемо приводити лише ті приклади, які нам будутьнеобхідні і достатні для розуміння суті та подальшого логічного описунаступних кроків. При цьому постараємося уникати введення будь-яких новихвизначень.
Накреслимо окружність.
Це тежодномірне простір.
Але як нерозмічають такий простір, якщо за одиницю виміру візьмемо певнукінцеву величину, то знак в€ћ ніде в такому просторі поставити невдасться.
Данаокружність - локальний приклад одновимірного простору, не містить знака в€ћ.
Крок другий.
Двомірнепростір.
На площиніпроведемо дві взаємно перпендикулярні прямі. Розмітив їх точно також, як іпряму на першому кроці, за точку відліку кожної взявши точку перетину. Такимчином визначимо двомірне нескінченний простір.
Тут зновузадаємо наше запитання: В«Чи може існувати двомірний простір, немістить в€ћ? В»
Виявляється,теж може.
Візьміть вруки глобус.
Як нерозмічають його поверхню, знак в€ћ поставити ніде не вдасться.
Дана сфера- Локальний приклад двовимірного простору, не містить в€ћ.
Переходимо дотретього кроку.
Через точкуперетину двох взаємно перпендикулярних прямих проводимо третю прямую,перпендикулярну двом першим. Розмітив її точно також, як і на перших двохкроках. Отримаємо тривимірне нескінченний простір, точніше спосіб йоговідображення - декартову систему координат.
Задаємопервісний питання: В«Чи може існувати простір, не містить знакав€ћ? В»
Виявляється,може.
Локальногоприкладу, подібного прикладам на перших двох кроках, тут привести не вдасться.
Ці локальніприклади були наведені лише для того, щоб отримати спосіб відображення такогопростору в декартовій системі координат, який дозволить визначити спосібрахунки ідеально-визначеного простору - простору, що не містить знака в€ћ,в глобальному розумінні.
Перейдемо доспособом відображення ідеально-визначеного простору в декартовій системікоординат.
Повернемося доодномерному простору.
Як можнавідобразити окружність на прямій?
На окружностівідзначимо яку точку і приймемо її за початок відліку, позначивши точно також, як іна прямій - О (з нульовим значенням). Від точки О відміряємо половину окружності вбудь-яку сторону і цю відмітку позначаємо точкою М (тобто ОМ - половинаокружності в будь-яку сторону). Від точки О в одну сторону зі знаком (+), в іншузі знаком мінус (-), точно з такими ж однаковими інтервалами по довжині як іна прямій робимо розмітку. При цьому точка М одержує два значення + m і-m.
Такарозмітка визначає і спосіб рахунки одновимірного ідеально-визначеногопростору (не містить в€ћ).
Щобвідобразити окружність на прямій, розірвемо окружність в точці М і, поєднавшиточки О окружності і прямої, розгорнемо півкола ОМ на пряму. Отримаємовідрізок прямої [-m, + m], який і відобразить окружність на прямий і визначитьспосіб рахунки одновимірного ідеально-визначеного простору на прямій.
Тобто прирусі по колу від точки О в плюсову сторону ми досягнемо точки М іззначенням + m, яка на прямій буде мати одночасно значення-m, і приподальшому русі підемо в негативну область відрізка [-m, + m], а приподальшому русі повернемося в точку О на прямій.
Відображенняокружності на прямий носить досить простий характер - без спотворень. Єдинимускладненням є роздвоєння значення точки М, що, власне, особливо йне заважає жити.
Цікавішевиходить при відображенні сфери на площину.
Давайтезгадаємо уроки географії.
Є глобус,сферична поверхня якого відображає земну поверхню без особливихспотворень.
Є такзвані карти світу - відображення сферичної поверхні на площині. Меніпригадуються по уроків географії два основних способи відображення: першийспосіб - дві півкулі у вигляді двох кіл, другий спосіб - щось подібнееліпса, на якому В«забабахатиВ» відразу вся сферична поверхня.
У ЦУП напрямокутному екрані зображена вся поверхня Землі приблизно по другомуспособу, при цьому окружність (орбіта супутника) відображається у вигляді якоїсьзигзаги.
Зрозуміло,відобразити сферу на площині без яких-небудь спотворень не вдається.
Мивибираємо такий спосіб відображення сфери на площину, який дає нам ключ доспособу рахунки ідеально-визначеного простору.
Длянаочності за початок координат виберемо Північний полюс.
За нульовогомеридіану почнемо рух від Північного полюса до Південного.
Відобразимо церух на площині.
Отримаємовідрізок прямої, що з'єднує Північний полюс з Південним.
Повернемося наПівнічний полюс.
На цей разпочнемо рух у протилежний бік по меридіану (вже 180-му) до Південногополюсу.
Отримаємовідображення цього меридіана на площині у вигляді відрізка, що з'єднує Північнийполюс з Південним в протилежну сторону. Південний полюс при цьому В«роздвоїтьсяВ». Засуті, ми відобразили окружність на пряму.
Далі тим, укого не вистачає уяви, рекомендується взяти в руки олівець і листокпаперу.
Якщо ми точнотаким же чином пройдемо по всім можливим меридіанах, то Південний полюсвідобразиться у нас на площині у вигляді кола з центром - Північним полюсом ірадіусом рівним довжині меридіана.
ТочкаПівденний полюс на сфері відобразиться у вигляді кола на площині.
Північнийполюс узятий за початок координат лише для наочності.
Зрозуміло, щоза початок координат на сфері може бути взята будь-яка точка.
Подовжніхспотворень (вздовж меридіанів) при такому відображенні бути не може (як привідображенні окружності на пряму), а ось широти будуть виглядати якконцентричні кола, довжини яких збільшуються в міру віддалення відПівнічного полюса.
При цьомуПівденний полюс, як згадувалося, буде відображений у вигляді окружності.
Виходячи зтакий В«картинкиВ», при необхідності можна обчислити коефіцієнт поперечнихспотворень, а краще коефіцієнт поправки для будь-якої з широт.
Такимчином, якщо окружність на прямий відображається у вигляді відрізка без будь-якихлінійних спотворень, то сфера на площині відобразиться у вигляді кола звідповідними поперечними спотвореннями.
Маючикоординати на колі відображення, ми будемо мати координати і на сфері і такимчином отримуємо точний спосіб рахунки такого простору.
Коло ісфера - локальні приклади одновимірного і двовимірного ідеально-визначеногопростору.
Тепер мипідготовлені до третього вирішального кроку - визначенню тривимірногоідеально-визначеного простору в глобальному розумінні (простору, немістить знака в€ћ).
Щоб не булоніяких бродінь в мізках, треба чітко усвідомити, що всі визначення, у тому числіпрямий, окружності, сфери, дані нам в декартовій системі координат. І, хочавідображення ідеально-визначеного простору в декартовій системі координатмає спотворення, ...
