СтаціонарніВ«ОдномірніВ» руху однієї частинки.
3.1. Одномірне поступальнийрух в замкнутому просторі. Потенційний "ящик".
Аналіз поступального руху однієїчастинки в замкнутому просторі належить до числа найпростіших прикладівсистематичного застосування квантової механіки до вирішення важливих хімічних іфізичних проблем. У їх числі термодинамічні властивості ідеального газу,спектроскопія електронних переходів у сполучених органічних барвників,електронні властивості кристалів і ін
Розглянемо наступну модель,звану потенційним "ящиком".
3.1.1. Уявімо, щона обмеженому інтервалі 0 < x < l рухаєтьсячастинка з масою m, яка не може залишити межіінтервалу через те, що на його кордонах потенційна енергія стрибкоподібнозростає до нескінченно великого значення. Ця умова еквівалентно тому, щоінтервал обмежений ідеально відображають стінками. Оскільки потенційнаенергія частинки всередині інтервалу 0L конечнаі, отже, незрівнянно менше, ніж висота стінок, можна покласти її рівною нулю. Таким чином,математична постановка задачіможе бути оформлена так, як показано на рис. 2 і записано формулами (3.1) і(3.2):
3.1.2. Складемо рівняння Шредінгера длячастинки в "ящику". Оскільки на інтервалі (0, L) U (x) = 0, то у складігамільтоніана залишається тільки оператор кінетичної енергії:
(3.3)
а рівняння Шредінгера набуваєвид:
(3.4)
Зберемо всі постійні в правій частинірівності і введемо позначення:
, (3.5)
тобто замінимо енергію пропорційноїїй величиною Оµ, що відрізняється від енергії тільки постійним множником, іодержимо рівняння відомої форми:
, (3.6)
3.1.3. Це диференціальне одноріднелінійне рівняння 2-го порядку з постійним коефіцієнтом Оµ, якийвідразу зручно представити як квадрат деякого параметра k, тобто
. (3.7)
Приватні вирішення цього рівняння маютьвид експонент з комплексними показниками або тригонометричних функцій:
, (3.8)
а загальне - їх лінійних комбінацій:
, (3.9)
де .(3.10)
3.1.4. Загальне рішення рівняння ще НЕє хвильовою функцією. Для того, щоб таке перетвореннявідбулося, необхідно перевірити сумісність отриманого рішення з усімавимогами, що пред'являються до хвильової функції, і привести його у відповідністьз ними:
вимогу нерозривностізадовольняють обидві тригонометричні складові та спільне рішення - також;
вимогу кінцівки рішення тежзадовольняє, оскільки воно не може перевищувати величину (А + В) і неможе бути менше, ніж - (А + В) . Це пов'язано з тим, що функції sin ( x ) і cos ( x ) змінюються в межах -1 до 1;
однозначності рішення (3.9) немає, покине визначено точку відліку. Тому введемо граничні умови, а саме:
, (3.11)
, (3.12)
Ці умови означають, що хвильовафункція зникає на границях інтервалу, поза яким система не існує. Зрівнянь (3.9) і (3.11) випливає, що
. (3.13)
Таким чином, прийнятне рішенняприйме вид:
.
3.1.5. З другого граничного умови (3.12) отримуємо наслідок:
. (3.15)
Умова (3.15) автоматично веде додискретності наборів енергетичних рівнів (3.17) і станів (3.18):
, (3.16)
. (3.17)
Хвильова функція має дійснийвид
. (3.18)
Остаточна процедура - нормировкахвильової функції зводиться до розрахунку відповідного масштабного множника - їїамплітуди В :
. (3.19)
Розрахуємо значення інтервалу,використовуючи тригонометричну підстароста-новку і заміну змінної :
Звідси. ,і нормовані хвильові функції станів частинки в "Яшико" набувають вигляду
. (3.20)
У формулах (3.17) і (3.18) введенанумерація станів і відповідних-щих енергетичнихрівнів. Номер n називається квантовим числом даного стану і рівня, і хвильова функція набуває номер, тобто .
3.1.7. Розглянемо властивості рівнів іхвильових функцій частинки в одно-вимірному "ящику".Приймемо за одиницю енергії вепічіну ; втакому випадку рівні, що відповідають формулі (3.17), дорівнюють , і їх можна зобразититаблицею. Відкладаючи величини Е на вертикальній шкалі, побудуємо енергетичну діаграму (рис3 (а))
3.1.8. Точки наінтервалі , в яких хвильова функціямає нульові значення, називаються вузлами . На рис. 3 (6) видно, що числовузлів на одиницю менше номера стану n. Область значень хвильової функції між сусідніми вузламиназивається пучностей . Число пучностей дорівнює номеру стану.Пучності охоплюють або позитивні, абонегативні значення хвильової функції.
3.1.9. Зводячи ОЁ в квадрат, отримуємо функцію щільностіймовірності, еоторая може мати нульовізначення, але не має негативних. Ця функція представлена ​​на рис. 3 (в).
3.1.10. Хвильовіфункції ортогональні, тобто для будь-якої пари різних функцій зквантовими числами і звертається в нульНаступного інтеграл:
. (3.21)
Особливо наочна запис в бра-і кет-символах:
. (3.22)
Ця властивість є дуже загальним, ійому можна надати сенс взаємо-виключеннястанів.
3.2.Одномірне обертання. Плоский ротатор
3.2.1. Обертання вплощині класичних макроскопічних тіл при постійній дистанції центру мас від осі обертання зручнішевсього описувати в полярних координатах, ідля цього достатньо всього однієї змінної - кута П† . В такому випадкузамість наведеної маси Ој використовується момент інерції , єпостійною величиною. З математичної точки зору ми маємо справу зсистемою, що володіє одним ступенем свободи, і тому такий рухвважається одномірним. Подібну систему назвемо плоским жорстким ротатори .
У мікросвітінеможливо представігь собі точне подобу плоского обертання, так якнеможливо жорстко фіксувати обертання небудь заздалегідь обраної площиною.Причини цього з'ясуємо трохи пізніше. Тим не менш, ця модель передаєнайважливіші риси стаціонарного обертання в багатьох мікросистемах, де часто є можливість поякою фізичною міркувань ви...
