Введення в теорію атома. Короткіматематичні відомості про сферичних системах. Ротатор. Рівняння Шредінгерадля одноелектронного атома (атом водню і водневоподібних іони).
8.1. Короткий зміст . Кульовікоординати (r, J, j). Елемент об'єму. Лапласіан вкульових координатах. Рівняння Лапласа в сферичних змінних. Роль симетріїу виборі радіальної частини загального рішення. Кутова частина рівняння Лапласа -рівняння Лежандра. Оператор моменту імпульсу, його квадрат в кульових зміннихі його зв'язок з рівнянням Лежандра. Ротатор. Квантування модуля моменту імпульсуротатора. Операторні рівняння для моменту імпульсу та їх зв'язок з рівняннямЛежандра.
Рівняння Шредінгера для електрона ватомі водню. Поділ змінних. Радіальна і кутова частини рівнянняШредінгера і вид спільного рішення. Квантування модуля і проекцій моменту імпульсуелектронного обертання навколо ядра. Квантування енергії і енергетичні рівні.Межі зміни квантових чисел. Боровський радіус і його імовірнісний сенс.
одноелектронного Гамільтоніан вкульових координатах і рівняння Шредінгера для атома водню (абоводородоподобного іона). Поділ змінних. Атомні орбіталі, їх радіальніі кутові компоненти:
.
Квантові числа (n, l, m), їхвзаємозв'язок, межі зміни і фізичний зміст. Квантування енергії, модуляі проекцій моменту імпульсу електрона на атомних орбіталях. Полярні діаграмикутових компонент АТ.
Розділ вЗначною мірою призначений для початківця читача і одна з його цілей- Вправи в елементарній алгебрі лінійних операторів.
8.2 . Попередня загальна інформація . Сферичнізмінні. Рівняння Лапласа. Атом водню. Рівняння Шредінгера. Поділзмінних (ілюстрації та основні формули) Радіальна змінна r, азимутальна змінна (кут широти) J, змінна широти (кут широти) j. Квантові числа.
Кульовікоординати: Радіальна змінна r
Кут широти J
Кут довготи пЃЄ
Декартові координати:
Інтервализміни кульових змінних: 0
Інтервали зміни змінних даютьможливість виявити вид полярних діаграм кутових функцій - рішень операторнихрівнянь.
Елемент об'єму в кульових змінних(Див. мал.):
8.3Лапласіан.
Важливевластивість Лапласіан полягає в його симетрія ко взаємним перестановокдекартових координат. З цієї властивості випливають і прийоми вирішення найбільшпоширених диференціальних рівнянь в приватних похідних з йогоучастю.
. (8.2)
Найпростіше диференціальне рівнянняв приватних похідних другого порядку, в якому лапласіан відіграє основну роль- Рівняння Лапласа. У кульових координатах лапласіан виявляється складенимз трьох незалежних компонент-операторів, кожен з яких перетворює лишеодну з трьох незалежних просторових змінних.
Симетрією конкретної системизумовлюється вибір координат, в яких слід висловити лапласіан, неювизначається вид розв'язків диференціальних рівнянь, в яких рівнянняЛапласа виявляється в ролі однорідної частини.
Такі дві задачі про сферичносиметричних рухах.
Перша з них про вільному обертаннібез потенційної енергії.
Друга про обертання в полі центральноїсили.
Основна квантово-механічнамодель, вживана для дослідження сферичного обертання як з потенційноюенергією, так і без неї, називається ротатор.
Перша задача про стаціонарне обертаннічастинок з лінійно розподіленої масою відносно центру мас. Такі всідвоатомних молекули, а також деякі трьохатомні молекули, такі як CO 2 , CS 2 . Ця задача більш проста, і в ній обертання частинкивільне, тобто вчиняється без потенційної енергії ( U rot = 0 ),і єдиний внесок у енергетичні рівні дає лише кінетична енергіяобертання. У класичній механіці енергію такого руху можна було бототожнити з енергією чисто тангенціального (дотичного) переміщеннячастинки по сфері.
Друге завдання про стаціонарному русіз потенційною енергією в полі центральної сили. У класичному розглядіпоряд з тангенціальною, чисто обертальної, з'явилася б і радіальнакомпонента енергії.
В атомах істотну роль граєлише електростатичне взаємодія, що підкоряється закону Кулона. Силигравітації в порівнянні з ним незмірно мала.
Для одного електрона в полі ядра зпорядковим номером Z в Періодичній Системі Менделєєва потенційна енергіятяжіння в системі СГС дорівнює U (r) = - Z Г— e 2 /r .
8.4. одноелектронних атоми.Одноелектронних сферично симетричними системами є атом водню,водневоподібних іони (іони, ядра яких мають порядкові номери Z, в полеяких знаходиться всього 1 електрон. Такі іони утворюються при Z-1 ступінчастоюіонізації), а також атом позитрон, який утворюється перед анігіляцієюелектрон - позитронної пари у вигляді стаціонарної системи перед тим, як вонианігілюють, випромінюючи два гамма-кванта.
8.5. Переклад Лапласіан в кульовікоординати можна здійснити, слідуючи різними схемами. У сферичних координатахлапласіан виглядає на перший погляд досить переконливо, але при найближчомурозгляді виявляється конструкцією, досить простий. Нескладні, аледосить тривалі перетворення призводять до наступного виразу:
. (8.3)
8.6. Компоненти Лапласіан .
Дляскорочення виділимо в лапласіане два доданків - радіальне і кутове:
(8.4)
Кутовийоператор називається оператором Лежандра.
Лапласіаннабуває стислий вигляд:
(8.5)
8.7. Кутовий оператор (операторЛежандра)
в свою чергу поділяється далі надва незалежних оператора. Один діє на змінну довготи J, другий - на змінну широти j, і виходить:
. (8.6)
операторних рівнянь для оператораЛежандра зустрічається в кількох дуже важливих фундаментальних ситуаціях. Цезавдання: 1) про квантових станах і енергетичних рівнях ротатора - лінійноїмолекули, вільно обертається навколо центру маси. 2) про електронний будовіатома H і водневоподібних іонів.
8.8.Рівняння Лапласадля сферичної системи:
Рівнянням Лапласа називаєтьсядиференціальне рівняння в приватних похідних другого порядку виду. У сферичних зміннихвоно має вигляд
. (8.7)
. (8.8)
Рішення знаходяться за методом Фур'є:для розділення змінних шукане рішення представляється у вигляді добуткурадіальної та кутової компонент функцій.
8.9. Поділ змінних.
Загальне правило : Якщо вдиференціальному рівнянні в частинних похідних можна виділити оператор,включає кілька змінних, і привести його до адитивної формі, надаючийому вид суми доданків, визначених лише для окремих змінних, товихідне диференціальне рівняння розпадається на систему диференціальних рівнянь.
Кожне з них і їх вирішення визначенілише на змінних відповідного оператора-доданка. Приватні рішеннявихідного диференціального рівняння вибираються в мультипликативном вигляді, яктвори функцій - рішень окремих рівнянь системи. Цей результатсформулюємо у вигляді короткого правила: В«Оператор аддитивен-Рішення мультиплікативнийВ».Цей підхід зустрічається всюди в теорії багатоелектронних систем - атомів імолекул.
8.10. Радіальна частина загального рішеннясферичного рівняння Лапласа обрана у вигляді статечної функції від радіальноїзмінної з показником ступеня l приймаючим одне з цілочисельнихневід'ємних значень. Вцьому випадку дотримується симетрія спільного рішення по відношенн...
