Зміст
Введення
Зенон про нескінченної величиною
Аристотель про потенційну і актуальноюнескінченності
Микола Кузанський про нескінченному
Больцано "Парадоксинескінченного "
Георг Кантор про нескінченному безлічі чисел
Висновок
Список літератури
Введення
Поняття нескінченностіє одним з найбільш важливих і в той же час "таємничих" в науці.Ще в давнину багато філософи і математики замислювалися над суперечливістюцього поняття. Як пише Ф. Енгельс, "протиріччям є вже те, що нескінченністьповинна складатися з одних тільки кінцевих величин, а між тим це саме так. Обмеженістьматеріального світу призводить до не меншим протиріччям, ніж його безмежність,і всяка спроба усунути ці протиріччя веде до нових гіршим протиріччям.Саме тому, що нескінченність є протиріччя, вона являє собоюнескінченний, без кінця розгортається в часі і просторі процес. Знищенняцього протиріччя було б кінцем нескінченності.
У математиці протиріччя,пов'язані з ідеєю нескінченного числа, загострилися після створення в кінці XIX ст. теорії нескінченних множин і послідувавнезабаром парадоксів цієї теорії. У той час як багато вчених, не звертаючи увагина такі парадокси, широко використовують у своїх роботах теорію множин, інші піддаютьтеоретико-множинні методи в математиці жорстокій критиці. Спори, пов'язані зтеорією множин, стали ще запеклішою після того, як група французьких математиків,пишучих під псевдонімом Ніколя Бурбаки, спробувала побудувати всю будівлю математичноїнауки, спираючись лише на поняття безлічі. Ця спроба, захоплено зустрінутапоруч математиків і зробила значний вплив на розвиток науки XX в., піддавалася осуду з бокуінших вчених за зайву формалізацію, спробу відірвати математичну науку відживлять її життєдайних практичних додатків.
Введення актуальноюнескінченності як базисного наукового поняття в математику, як майже всяке значненововведення в науці, створило стільки ж нових проблем, скільки і дозволило вирішитистарих. Точніше кажучи, створило, звичайно ж, більше. Проте з самого початку вдалосяпровести акуратне розрізнення понять в області, де такий довгий час було багатоплутанини.
Саме завдякиданій проблемі філософія і математика зблизилися, так як спільною метою цих наукє досягнення істинного знання по нескінченній величиною. Не випадково ж поняттянескінченного досліджувався в роботах Больцано і Кантора, які були як філософами,так і математиками. Тому дана тема завжди актуальна.
Визначившись зтемою роботи, переді мною постала мета - дослідити властивості нескінченної величиниі зіставити поняття потенційної і актуальної нескінченності. Для реалізації поставленоїмети були вирішені наступні задачі: розглянути апорії Зенона, для доказуяких він активно застосовував властивість нескінченної величини; пояснити трактування нескінченноївеличини у Кузанського, показати виявлені ним властивості нескінченної величини і зіставитиактуальну і потенційну нескінченність Кузанського; дізнатися про перший поділактуальною і потенційної нескінченності, введене Аристотелем; а також дослідитивластивості нескінченної величини в теоріях нескінченних множин філософів - математиківБольцано і Кантора.
Для підготовки роботия активно використовувала роботи самих філософів, а також літературу, що містить основніположення робіт філософів і їх оцінку.
Зенон про нескінченної величиною
Зенон отримав найбільшу популярність за створення опори, в перекладіозначають протиріччя. Завдяки їм майже кожний наступний філософ згадувавйого ім'я у своїх творах, намагаючись ці опори спростувати або привести доводина їх користь.
Перша опора: "Величина частин сущого виявляється заразі нескінченно малої і нескінченно великої. А саме, маючи поза собою нескінченну безлічвсіх інших частин, вона складає нескінченно малу частинку всього; але, з іншогобоку, складаючись сама з нескінченної безлічі часток, вона представляє величинунескінченно велику "[3, c.8]
Які ж наслідки випливають звідси? По-перше, речей нескінченнубезліч (так як суще ділимо до нескінченності), і, по-друге, кожна річ займаєнескінченний простір (внаслідок безкінечності своїх частин). Кожна річ (які будь-яка частина її) виявляється нескінченно великої по протягу, суще ж, як сукупністьвсіх речей, буде нескінченним безліччю нескінченно великих просторових величин.
З іншого боку, кожна частка нескінченно мала, так як вонавідокремлена від всякої іншої частинки нескінченним безліччю частинок. Якщо відокремити їївід всіх інших частинок, то вона сама зовсім не буде мати частин і величини. Дейссен"Виправляє" першу антиномію Зенона наступним чином: "Тіло, яке складаєтьсяз безлічі частинок, було б 1) нескінченно малим і 2) нескінченно великим. Воно булоб нескінченно малим, так як його можна ділити до безкінечності: виявляється, щотіло складається з суми нескінченно малих частинок; сума ж нескінченно малих частинокможе дати лише нескінченно мале. Тіло було б нескінченно великою, так як при безперервномуділенні ми отримаємо, нарешті, нескінченно багато частинок; якщо з останніх ми станемоскладати тіло, то, скільки б їх ми не взяли, завжди буде залишатися ще нескінченнебезліч їх, таким чином, внаслідок того, що число їх невичерпно, ми можемозбільшувати тіло до нескінченної величини. "[3, c.10].
Переходимо до другої антиномії. "Якщо допустити існуваннябагатьох речей, то виявиться, що:
1) речей кінцеве число (теза) і 2) речей нескінченне число(Антитеза). Хід аргументації зводиться до наступного. Теза: Якщо існує безлічречей, то їх стільки, скільки є, не більше і не менше. Отже, вони існуютьв певному (обмеженому) кількості. Антитеза: Якщо речей багато, то їх повиннобути нескінченне число. У самому справі, припустимо існування тільки двох речей.Між двома речами необхідно повинна лежати якась третя річ, їх розділяє,між останньою і першими знову нові речі, і так далі до нескінченності. В іншомувипадку, дві суміжні речі злилися б в єдність, утворювали б одну річ (а недві). Таким чином, двох не існує без трьох, трьох без п'яти, п'яти без дев'ятиі так далі до нескінченності (так як число розділяють речей виявляється рівнимбезкінечного ряду 1, 2,4,8,16 і т.д.) "[3, c.12]. Впершої та другої антиномії Зенон розглядає поняття одиниці, кінцевого кількостіі кількісної нескінченності. Діалектика числа у Зенона дає наступні результати:одиниця = нулю, нуль = нескінченного числа, кінцеве кількість (два) = безкінечногочислу, частина = цілого. Таким чином, поняття числа суперечливо, його застосуваннянезакономерно з точки зору розуму, число повинне бути віднесене до області думкиі ілюзії.
Проти простору Зенон дає і спеціальне доказ:"Все існуюче знаходиться де-небудь, тобто в просторі. А якщо так,то й сам простір, щоб існувати, теж повинно знаходитися де-небудь, тобтов іншому просторі. Це друге простір в свою чергу повинно знаходитисяв третьому просторі, третє в четвертому і так далі. Таким чином, отримаємо простірпростору і т.д. до нескінченності. Отже, доводиться або визнати нескінченнечисло просторів, укладених одне в іншому, або ж зовсім заперечувати існуванняпростору "[3, c.14].
Як аргумент проти простору, так і аргумент проти істинностічуттєвого сприйняття містять в собі спростування множинності речей. Аргументпроти реальності чуттєвого сприйняття відомий під назвою "пшоняноїзерна ". У бесіді з Протагором Зенон вказує: "між тим, як жоднеціле зерно, ні одна десятитисячна частина зерна при падінні не видають звуку, медимновпшона, падаючи, виробляє шум. Так здається нам згідно зі свідоцтвом зовнішніх почуттів;проте розум вимагає, щоб ми прийняли небудь одне: або і одне зерно і одна десятитисячначастину зерна при падінні теж видають звук, або й медимнов пшона не виробляє шуму.Адже, в іншому випадку, ми отримаємо, що сума нулів дорівнює не нулю, а деякоїпозитивною величиною "[3, c.17].
Найбільшою популярністю...
