Світловод: рівняння, типихвиль в світловодах. Критичні довжини і частоти
1.Рівняння передачі по світловоду
Розглянемоволоконний світловод без втрат двошарової конструкції, наведений на рис. 1
b
n 2 n 1 a
Рис. 1
Для описуповедінки електромагнітного поля в сердечнику (0
Длявизначення основних параметрів світловодів (критичної частоти, хвильовогочисла, швидкості передачі та ін) скористаємося основними рівняннямиелектродинаміки - рівняннями Максвелла, які для діелектричних хвилеводівмають вигляд:
(1)
РівнянняМаксвелла справедливі для будь-якої системи координат. Для направляючих систем цірівняння найбільш часто застосовуються в циліндричній системі координат, вісь Zякої сумісний з оптичною віссю світловода:
(2)
Для вирішенняінженерних задач електродинаміки необхідно знати поздовжні складові полівЕ z і H z . Їх можна отримати наступним чином. Перетворимоперше з рівнянь Максвелла (1) до вигляду
.
Тоді,використовуючи співвідношення, а такожвраховуючи, що divH = 0, одержимо
,
де - хвильове число світловода.
Поступаючианалогічно з другим рівнянням Максвелла (2), отримаємо.
Звідсивипливає, що поздовжні електромагнітні складові векторів E z іH z задовольняють рівнянням
Де - оператор Лапласа.
,
Тоді дляпоздовжніх складових E z і H z в ціліндрічееской системікоординат отримаємо диференціальні рівняння другого порядку:
(3)
Припустимо, щонапруженість електромагнітного поля в напрямку осі Z змінюється поекспоненціальним законом, тобто , Де А -будь-яка скла
дова векторів Е або Н; j-коефіцієнтрозповсюдження. Тоді перша і друга похідні визначаться
.
Дляскладової Е z
.
Підставляючиотримане значеніe в рівняння (3), отримаємо
Введемопозначення - поперечне хвильовечисло світловода. Тоді для сердечника світловода маємо
(4)
де (без обліку загасання) - поперечнийхвильове число сердечника; k 1 - хвильове число сердечника зкоефіцієнтом заломлення n 1 ,.
Рішеннярівнянь (4) для сердечника слід виразити через циліндричні функціїпершого роду - функції Бесселя, що мають кінцеві значення при r = 0. Томуможна написати
(5)
де А n і В n - постійні інтегрування.
Скориставшисьрівняннями (2), розглянемо зв'язок між поперечними і поздовжніми компонентамиполя. Зокрема, для складової Е r маємо
Візьмемопохідну від другого виразу по
Враховуючи, що, А, то
Тоді
або
Підставимоданий вираз в рівняння для Е r
або
.
Остаточноотримаємо.
Аналогічноможна встановити зв'язок між поздовжніми та іншими поперечними компонентамиполя
Скориставшисьрівняннями (5) візьмемо відповідні похідні
Тодівирази для поперечних складових електричного і магнітного полів всердечнику світловода, вважаючи, що, маютьвид (множник не пишемо):
(6)
Для оболонкимаємо аналогічну систему рівнянь:
де (без обліку загасання) - поперечнийхвильове число оболонки світловоду; k 2 - хвильове число оболонки зкоефіцієнтом заломлення n 2 ,.
Для вирішенняданих рівнянь, виходячи з умови, що при поліповинен наближатися до нуля, слід використовувати циліндричні функції третьогороду - функції Ганкеля:
де С n ,D n - постійні інтегрування.
Тоді дляпоперечних складових поля в оболонці можна написати наступні вирази:
(7)
Постійніінтегрування А n , В n , С n , D n можутьбути визначені на підставі граничних умов. Використовуємо умови рівностітангенціальних складових напруженостей електричних і магнітних полів наповерхні розділу сердечник-оболонка (при r = а):
Знайшовшипостійні інтегрування і підставивши їх у рівняння, після відповіднихперетворень отримаємо наступне трансцендентне рівняння:
(8)
Отриманірівняння дають можливість визначити невідомі постійні і знайти структуруполя в сердечнику і оболонці волоконного світловода. У загальному випадку рівняннямають ряд рішень, кожному з яких відповідає певна структураполя, звана типом хвилі або модою.
світловодрівняння інтегрування хвиля
2. Типихвиль в світловодах
У сетоводахможуть існувати два типи хвиль: симетричні E 0m , H 0m несиметричні дипольні EH nm , HE nm . В індексі n - числозмін поля по діаметру; m - число змін поля по периметру. Симетричніхвилі електричні Е 0m і магнітні H 0m мають круговусиметрію (n = 0).
Роздільнепоширення по світловоду несиметричних хвиль типу неможливо. У світловодівони існують тільки спільно, тобто єпоздовжні складові Е і Н. Ціхвилі називаються змішаними, дипольними і позначаються через HЕ nm ,якщо поле в поперечному перерізі нагадує поле Н, або Eн nm , якщополе в поперечному перерізі ближче до хвиль Є.
З усієїноменклатури змішаних хвиль в оптичних кабелях найбільше застосування отрималахвиля типу НЕ 11 (або ЄП 10 ). На цій хвилі працюютьодномодові світловоди, які мають найбільшу пропускну спроможність
Являєінтерес зіставити зазначену класифікацію електромагнітних хвиль з променевоюкласифікацією.
Як ужезазначалося, по волоконних світловодів можлива передача двох видів променів: меридіональнихі косих. Меридіональні промені розташовані в площині, що проходить через вісьволоконного світловода. Косі промені не перетинають вісь світловода.
меридіональномупроменям відповідають симетричні електричні Е 0m і магнітниеH 0m хвилі, косим променям - несиметричні гібридні Eн nm і HЕ nm хвилі.
Якщоточечений джерело випромінювання розташоване по осі світловода, то є тількимеридіональні промені і відповідно симетричні хвилі Е 0m , H 0m .Якщо ж точкове джерело розташований поза осі світловода або є складнийджерело, то з'являються одночасно як меридіональні, так і косі промені івластиві їм симетричні Е 0m , H 0m і несиметричнігібридні (Eн nm і HЕ nm ) хвилі.
Несиметричніхвилі типу E nm і H nm у волоконних світловодах існуватине можуть. Ці хвилі збуджуються тільки в металевих хвилеводах.
Основнерівняння передачі по волоконних світловодів для випадку може бути значноспрощено стосовно до різних типів хвиль.
Длясиметричних хвиль права частина рівняння (8) дорівнює нулю, тоді маємо дварізних рівняння для електричної Е 0m і магнітної Н 0m хвиль:
для Е 0m
(9)
для Н 0m
Для змішанихдипольних хвиль можна отримати наступні наближені рівняння:
для НЕ nm
(10)
для ЕН nm
Для областічасто, далеко віддалених від критичної частоти, можна скористатися більшпростими виразами:
для нe nm
для Еh nm
Данівирази дозволяють визначати структуру поля, параметри хвиль і характеристикиволоконного світлово...
