Зміст
Введення
1. Теорія перколяції
2. Область застосування теорії перколяції
2.1 Процеси гелеутворення
2.2 Застосування теорії перколяції для опису магнітних фазових переходів
2.3 Застосування теорії перколяції до дослідження газочутливідатчиків з перколяційні структурою
Висновок
Список літератури
Введення
Теорії перколяції вже більше п'ятдесяти років. Щорічно на заходіпублікуються сотні статей, присвячених як теоретичним питанням перколяції,так і її додатків.
Теорія перколяції має справу з утворенням зв'язаних об'єктів внеупорядкованих середовищах. З точки зору математика, теорію перколяції слідвіднести до теорії ймовірності в графах. З точки зору фізика - перколяції - цегеометричний фазовий перехід. З точки зору програміста - найширше поледля розробки нових алгоритмів. З точки зору практика - простий, але потужнийінструмент, що дозволяє в єдиному підході вирішувати найрізноманітніші життєвізавдання.
Дана робота буде присвячена основним положенням теорії перколяції. Ярозгляну теоретичні основи перколяції, наведу приклади, що пояснюють явищеперколяції. Також буде розглянуто основні додатки теорії перколяції.
1. Теорія перколяції
Теорія перколяції (протікання) - теорія, що описує виникненнянескінченних зв'язних структур (кластерів), що складаються з окремих елементів.Представляючи середовище у вигляді дискретної решітки, сформулюємо два найпростіших типузадач. Можна вибірково випадковим чином фарбувати (відкривати) вузли решітки,вважаючи частку фарбованих вузлів основним незалежним параметром і вважаючи двафарбованих вузла належать одному кластеру, якщо їх можна з'єднатибезперервної ланцюжком сусідніх фарбованих вузлів.
Такі питання, як середнє число вузлів в кластері, розподілкластерів за розмірами, поява нескінченного кластера і частка входять до ньогофарбованих вузлів, становлять зміст задачі вузлів. Можна також вибірковофарбувати (відкривати) зв'язку між сусідніми вузлами і вважати, що одному кластеруналежать вузли, з'єднані ланцюжками відкритих зв'язків. Тоді ті ж саміпитання про середню числі вузлів в кластері і т.д. складають зміст завданнязв'язків. Коли всі вузли (або всі зв'язки) закриті, решітка є моделлюізолятора. Коли вони всі відкриті і по проводять зв'язків через відкриті вузлиможе йти струм, то грати моделює метал. При якомусь критичному значеннівідбудеться перколяційніперехід, що є геометричним аналогом переходу метал-ізолятор.
Теорія перколяції важлива саме в околиці переходу. Далеко відпереходу достатньо апроксимації ефективного середовища перколяційні перехіданалогічний фазового переходу другого роду.
Явище перколяції (або протікання середовища) визначається:
- Середовищем, в якій спостерігається це явище;
- Зовнішнім джерелом, який забезпечує протікання в цьому середовищі;
- Способом протікання середовища, який залежить від зовнішнього джерела.
В якості найпростішого прикладу можна розглянути модель протікання(Наприклад електричного пробою) в двовимірній квадратної решітці, що складається звузлів, які можуть бути провідними або непровідними. У початковий моментчасу всі вузли сітки є непровідними. З часом джерело замінюєнепровідні вузли на провідні, і число провідних вузлів поступово зростає.При цьому вузли заміщаються випадковим чином, тобто вибір будь-якого з вузлів длязаміщення є рівноймовірно для всієї поверхні решітки.
перколяції називають момент появи такого стану решітки, приякому існує хоча б один безперервний шлях через сусідні проводять вузливід одного до протилежного краю. Очевидно, що із зростанням числа провіднихвузлів, цей момент настане раніше, ніж уся поверхня решітки буде складатисявиключно з провідних вузлів.
Позначимо непроводящее і провідний стан вузлів нулями і одиницямивідповідно. У двовимірному випадку середовищі буде відповідати бінарнаматриця. Послідовність заміни нулів матриці на одиниці будевідповідати джерелу протікання.
У початковий момент часу матриця складається повністю з непровіднихелементів:
перколяції гелеутвореннягазочутливі кластер
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
При впливі зовнішнього джерела в матриці починають додаватисяпровідні елементи, проте спочатку їх недостатньо для перколяції:
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
У міру збільшення числа провідних вузлів настає такий критичниймомент, коли відбувається перколяції, як показано нижче:
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
Видно, що від лівої до правої межі останньої матриці є ланцюжокелементів, яка забезпечує протікання струму по проводять вузлам (одиницям),безперервно наступним один за одним.
перколяції може спостерігатися як в решітках, так і іншихгеометричних конструкціях, в тому числі безперервних, складаються з великоїчисла подібних елементів або безперервних областей відповідно, які можутьзнаходитися в одному з двох станів. Відповідні математичні моделіназиваються граткових або континуально.
Як приклад перколяції в безперервному середовищі може виступатипроходження рідини через об'ємний пористий зразок (наприклад, води черезгубку з пеноообразующего матеріалу), в якому відбувається поступовенадування бульбашок до тих пір, поки їх розмірів не стане достатньо дляпросочування рідини від одного краю зразка до іншого.
Індуктивно, поняття перколяції переноситься на будь-які конструкції абоматеріали, які називаються перколяційні середовищем, для якої повинен бутивизначено зовнішній джерело протікання, спосіб протікання і елементи (фрагменти)якої можуть перебувати в різних станах, одне з яких (первинне) незадовольняє даному способу проходження, а інше задовольняє. Спосібпротікання також передбачає собою певну послідовністьвиникнення елементів або зміна фрагментів середовища в потрібне для протіканнястан, який забезпечується джерелом. Джерело ж переводить поступовоелементи або фрагменти зразка з одного стану до іншого, поки не настанемомент перколяції.
Поріг протікання
Сукупність елементів, по яких відбувається протікання, називаєтьсяперколяційні кластером. Будучи за своєю природою зв'язковим випадковим графом, вЗалежно від конкретної реалізації він може мати різну форму. Томуприйнято характеризувати його загальний розмір. Порогом протікання називаєтьсякількість елементів перколяційного кластера, віднесене до загальної кількостіелементів розглянутої середовища.
Зважаючи випадкового характеру перемикань станів елементів середовища, вкінцевої системі чітко певного порогу (розміру критичного кластера) неіснує, а є так...
