Федеральнеагентство з освіти
ГОУ "Ульяновськийдержавний педагогічний університет ім. І. Н. Ульянова "
Кафедра математичного аналізу
"Деякі рівняння математичної фізики в частинних похідних"
Ульяновськ, 2008 р.
Зміст
Введення
Глава 1. Рівняннягіперболічного типу
1.1 Завдання, що призводять до рівняньгіперболічного типу
1.2 Рівняння коливань струни
1.3 Метод розділення змінних.Рівняння вільних коливань струни
1.4 Рішення рівнянь
Глава 2. Рівнянняпараболічного типу
2.1 Рівняння поширення тепла встержні
2.2 Рішення задач
Висновок
Література
Введення
Вивченнямдиференціальних рівнянь в приватних похідних займається математичнафізика. Основи теорії цих рівнянь вперше були викладені в знаменитому "інтегральногообчисленні "Л. Ейлера.
Класичні рівнянняматематичної фізики є лінійними. Особливість лінійних рівнянь складаєтьсяв тому, що якщо U і V - два рішення, то функція aU + bV при будь-яких постійних a і b знову є рішенням. Ця обставина дозволяєпобудувати спільне рішення лінійного диференціального рівняння з фіксованогонабору його елементарних рішень і спрощує теорію цих рівнянь.
Сучасна загальна теоріядиференціальних рівнянь займається головним чином лінійними рівняннями іспеціальними класами нелінійних рівнянь. Основним методом вирішення нелінійнихдиференціальних рівнянь в приватних похідних виступає чисельнуінтегрування.
Коло питаньматематичної фізики тісно пов'язаний з вивченням різних фізичних процесів.Сюди відносяться явища, досліджувані в гідродинаміці, теорії пружності,електродинаміці й т.д. Виникаючі при цьому математичні завдання містятьбагато спільних елементів і складають предмет матема
тичної фізики.
Постановказадач математичної фізики, будучи тісно пов'язаною з вивченням фізичнихпроблем, має свої специфічні риси. Так, наприклад, початкова та кінцевастадії процесу носять якісно різний характер і вимагають застосуваннярізних математичних методів.
Коло питань,відносяться до математичної фізики, надзвичайно широкий. У даній роботірозглядаються задачі математичної фізики, що призводять до рівнянь зприватними похідними.
Розташуванняматеріалу відповідає основним типам рівнянь. Вивчення кожного типурівнянь починається з найпростіших фізичних задач, що приводять до рівняньрозглянутого типу.
Глава 1. Рівняння гіперболічноготипу
1.1 Завдання, що призводять дорівнянням гіперболічного типу
Рівнянняз приватними похідними 2-го порядку гіперболічного типу найбільш частозустрічаються в фізичних задачах, пов'язаних з процесами коливань. Найпростішерівняння гіперболічного типу
називається хвильовимрівнянням. До дослідження цього рівняння наводить розгляд процесівпоперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричнихколивань в проводі, крутильних коливань валу, коливань газу і т.д.
1.2 Рівняння коливань струни
В математичній фізиціпід струною розуміють гнучку, пружну нитку. Напруги, що виникають у струні вбудь-який момент часу, спрямовані по дотичній до її профілю. Нехай струнадовжини впочатковий момент спрямована по відрізку осі Оx від 0 до. Припустимо, що кінці струнизакріплені в точках. Якщо струну відхилити від їїпервинного положення, а потім надати самій собі або, не відхиляючиструни, надати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилитиструну і надати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть здійснюватируху - говорять, що струна почне коливатися. Завдання полягає ввизначенні форми струни в любий момент часу і визначенні закону рухукожної точки струни в залежності від часу.
Будемо розглядати малівідхилення точок струни від початкового положення. У силу цього можнаприпускати, що рух точок струни відбувається перпендикулярно осі Ox і в одній площині. При цьомуприпущенні процес коливання струни описується однією функцією, яка даєвеличину переміщення точки струни з абсцисою x у момент t.
Рис. 1.1.
Так як ми розглядаємомалі відхилення струни в площині, то будемо припускати, що довжинаелемента струни дорівнює її проекції на вісь Ox, тобто Також будемо припускати, щонатяг в усіх точках струни однаковий; позначимо його через Т.
Розглянемо елемент струни.
Рис. 1.2.
На кінцях цього елемента,по дотичним до струни, діють сили Т. Нехай дотичні утворюють з віссю Ox кути. Тоді проекція на вісь Ou сил, діючих на елемент, буде рівна. Так як кутмалий, томожна покласти, і ми будемо мати:
(тут ми застосували теорему Лагранжадо виразу, що стоїть у квадратних дужках).
Щоб отримати рівнянняруху, потрібно зовнішні сили, прикладені до елемента, прирівняти силі інерції.Нехай -лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде. Прискорення елементаодно.Отже, за принципом Даламбера будемо мати:
.
Скорочуючи на і позначаючи, отримуєморівняння руху
. (1)
Це і є хвильове рівняння -рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одногорівняння (1) недостатньо. Шукана функція повинна задовольняти щеграничним умовам, вказуючим, що робиться на кінцях струни, і початковим умовам,описує стан струни в початковий момент (t = 0). Сукупність граничних та початкових умов називаєтьсякрайовими умовами.
Нехай, наприклад, як ми припускали,кінці струни при нерухомі. Тоді при будь-якому t мають виконуватись рівності:
(2 ')
(2'')
Ці рівності є граничнимиумовами для нашої задачі.
У початковий момент t = 0 струна має визначену форму,яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f (x). Таким чином, має бути
(3 ')
Далі, в початковий момент має бутизадана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією. Такимчином, повинно бути
(3'')
Умови (3 ') і (3'') єпочатковими умовами.
Зауваження. Зокрема, може бути або. Якщо ж і, то струнабуде знаходиться в спокої, отже,.
1.3 Метод поділузмінних. Рівняння вільних коливань струни
Метод поділузмінних або метод Фур'є, є одним з найбільш поширених методіврозв'язання рівнянь із приватними похідними. Виклад цього методу ми проведемодля задачі про коливання струни, закріпленої на кінцях. Отже, будемо шукатирішення рівняння
задовольняєоднорідним граничним умовам
(9)
і початковим умовам
(10)
Рівняння (1) лінійно і однорідно,тому сума приватних рішень також є вирішенням цього рівняння. Маючидостатньо велике число приватних рішень, можна спробувати за допомогоюпідсумовування їх з деякими коефіцієнтами знайти шукане рішення.
Поставимо основнудопоміжну задачу: знайти рішення рівняння
Нерівне тотожно нулю, яке задовольняє однорідним граничним умовам
(11)
і представимое у виглядітвори
(12)
де X (x) - функція тільки змінного x, T (t) - функція тільки змінного t.
Підставляючи передбачувану формурішення (12) в рівняння (1), отримаємо:
або, після поділу на XT,
(13)
Щоб функція (12) буларішенням рівняння (1), рівність (13) має задовольнятися тотожно, т.тобто 0 <х <,t> 0. Права частина рівності (13)є функцією тільки змінного t, а ліва - тільки х. Фіксуючи, наприклад, деяке значення х і змінюючи t (або навпаки), отримаємо, що праваі ліва частини рівності (13) при зміні своїх аргументів зберігаютьпостійне значення
(14)
де - постійна, якудля зручності подальших викладок беремо зі знаком мінус, нічого не припускаючипри цьому про її знаку.
Зі співвідношення (14)отримуємо звичайні диференціальні рівняння для визначення функцій X (x) і T (t)
(15)
(16)
Граничні умови (11) дають:
Звідси випливає, щофункція X (x) повинна задовольняти додатковим умовам:
X (0) = X () = 0, (17)
Так як і...
