Міністерствоосвіти і науки Російської Федерації
Курсоваробота
на тему: Теорія нелінійної теплопровідності
Зміст
Анотація
Введення
1. Теорія нелінійної теплопровідності
2. Поширення теплових збурень у нелінійнихсередовищах
3. Просторова локалізація теплових збурень
4. Завдання нелінійної теплопровідності з об'ємнимпоглинанням
5.Решенія нелінійної задачі теплопровідності на полупрямой
Висновок
Список використаної літератури
Анотація
Як відомо у вченні протеплообміні розглядаються процеси поширення теплоти в твердих, рідкихі газоподібних тілах. Ці процеси по своїй фізико-механічній природі доситьрізноманітні, відрізняються великою складністю і зазвичай розвиваються у вигляді цілогокомплексу різнорідних явищ.
Перенесення теплоти можездійснюватися трьома способами: теплопровідністю, конвекцією та випромінюванням, аборадіацією. Ці форми глибоко різні за своєю природою і характеризуютьсярізними законами.
Теплопровідність - цеодин з видів переносу теплоти (енергії теплового руху мікрочастинок) відбільш нагрітих частин тіла до менш нагрітих, що приводить до вирівнюваннятемператури.
Процес перенесення теплотитеплопровідністю відбувається між безпосередньо дотичними тілами абочастинками тіл з різною температурою. Вчення про теплопровідності однорідних іізотропних тіл спирається на вельми міцний теоретичний фундамент. Вонозасноване на простих кількісних законах і має у своєму розпорядженні добре розробленимматематичним апаратом який я і постарався розглянути в даній курсовійроботі.
Введення
Одним з актуальнихнапрямків сучасної математичної фізики є вивчення нелінійнихматематичних моделей різних фізико-хімічних явищ і процесів.Поява таких моделей зумовлено використанням в сучасній фізиці ітехніці впливів на речовину електричних полів великої інтенсивності,пучків частинок високої енергії, потужного лазерного когерентного випромінювання,ударних хвиль високої інтенсивності, потужних теплових потоків. Лінійніматематичні моделі є завжди лише певними наближеннями приописі різних процесів. Їх можна використовувати тільки в тих випадках, колидосліджувані фізичні величини в даному процесі змінюються не в дужеширокому діапазоні значень.
Нелінійні моделідозволяють описати процеси в більш широкому діапазоні зміни параметрів. Прицьому нелінійності змінюють не тільки кількісні характеристики процесів,але і якісну картину їхнього протікання. В основі нелінійних моделей лежатьнелінійні диференціальні рівняння в приватних похідних, закінченої теоріїі загальних методів вирішення завдань для яких в даний час не розроблено.Однак для ряду нелінійних задач математичної фізики вдається знайти точніаналітичні рішення, аналіз властивостей яких дозволяє виявити якіснонові нелінійні ефекти в досліджуваних процесах. Зокрема, при дослідженнівисокотемпературних теплових процесів з урахуванням дії таких механізмівпереносу енергії, як електронна або промениста теплопровідності, необхідновраховувати залежність густини р, питомої теплоємності с і коефіцієнтатеплопровідності середовища k від температури.
Потужність тепловихджерел, розподілених в об'ємі середовища, також може залежати від температури,якщо враховувати процеси дисоціації та іонізації молекул, фазові переходи,випромінювання, горіння, хімічні реакції і інші екзо-і ендотермічніпроцеси, що протікають в нагрітій середовищі.
1. Теорія нелінійноїтеплопровідності
Рівняння теплопровідності,враховує залежність властивостей середовища від температури і нелінійну залежністьвід температури потужності розподілених в об'ємі теплових джерел, єквазілінейним параболічним рівнянням виду
(1.1)
Нелінійність завданнятеплопровідності може бути також обумовлена ​​нелінійністю граничної умови.Такі завдання, на відміну від завдань з внутрішньої нелінійністю, зумовленоюнелінійністю рівняння, часто називають задачами з зовнішньої нелінійністю.
Нелінійне граничнеумова на поверхні тіла може мати вигляд
(1.2)
де функція внелінійним чином залежить від температури.
До таких умов,наприклад, відноситься умова на поверхні випромінюючого тіла або умоваконвективного теплообміну, в якому коефіцієнт теплообміну ат залежить відтемператури поверхні тіла.
Задача теплопровідностістає нелінійною, якщо враховувати фазові переходи в середовищі, такі, якплавлення, випаровування, конденсація, кристалізація, що відбуваються припевній температурі і супроводжуються виділенням або поглинанням теплоти.
У середовищі з фазовимпереходом з'являється поверхню ОЈ розділу фаз, яку називають фронтомфазового переходу. Ця поверхня переміщується з кінцевою швидкістю. Баланстеплової енергії на фронті фазового переходу з температурою u * дозволяє записати на рухомійповерхні ОЈ фронту крім умови
u1 (P) = u2 (P) = u * (1.3)
інше граничнеумова:
(1.4)
де k1, k2 і и1, u2 -коефіцієнти теплопровідності і температури двох дотичних фазвідповідно; q * - питомамасова теплота фазового переходу; V - миттєва швидкість переміщення фронту фазового переходу внапрямку нормалі поверхностіОЈ.
Так як швидкістьпереміщення фронту V заздалегідь невідома і повинна бути знайдена в процесі рішення задачі теплопровідності, тогранична умова (1.4), зване умовою Стефана, робить задачу нелінійної.
Можливий і іншийпідхід до моделювання процесу фазового переходу без явного виділення фронтуфазового переходу при постановці завдання. Цей підхід пов'язаний з переходом в класузагальнених функцій. Дійсно, теплоту фазового переходу, що виділяється нафронті, можна врахувати, вважаючи внутрішню енергію середовища розривною функцієютемператури і вводячи зосереджену теплоємність середовища. При цьому внутрішняенергія одиниці об'єму середовища е, як функція температури, при u = u * стрибком змінюється на величину теплоти фазовогопереходу, тобто
(1.5)
Тут = р (u)з (u) - теплоємність одиниці об'ємусередовища;
Q * = pq *; ​​
імпульсна функціяХевісайда, похідна якої є дельта-функція.
Диференціюючи тепервнутрішню енергію (1.5) по температурі, отримаємо вираз для ефективноїоб'ємної теплоємності середовища з урахуванням теплоти фазового переходу
еф = (u) + Q *.
Друге доданок,записане через дельта функцію, являє собою зосередженутеплоємність, яку слід розуміти як узагальнену функцію температури.
При такому описіфазового переходу рівняння теплопровідності в відсутність об'ємних тепловихджерел прийме вигляд
[c (u) + q *] p (u) (1.6)
Тут
Фронт фазового переходув такій постановці завдання знаходиться як ізотермічна поверхня u = u * = const, становище якої в просторі, а в загальномувипадку і форма, змінюються з часом.
нелінійних змінюютьне тільки кількісні характеристики теплових процесів, але і якіснукартину їхнього протікання. Вони значно ускладнюють математичні моделі тепловихпроцесів, причому багато в чому ці труднощі пов'язані з неможливістю застосуваннядля нелінійних задач принципу суперпозиції рішень. Число знайдених точниханалітичних рішень таких нелінійних задач теплопровідності вкрайобмежена, але саме аналіз цих рішень дозволяє виявити якісно новінелінійні ефекти при поширенні теплоти. Деякі такі рішеннянелінійних задач теплопровідності розглянуті нижче.
квазілінійнихпараболічні рівняння другого порядку лежать в основі математичних моделейрізноманітних явищ і процесів у механіці, фізиці, біології, екології,технології та інших галузей знань. Зокрема, рівняння нелінійноїтеплопровідності (1.1) при певних умовах описує фільтрацію рідині газів в пористих матеріалах, дифузію нейтронів, нелінійний скін-ефект припроникненні магнітного поля в провідні середовища. Це рівняння застосовне приматематичному описі процесів горіння та...
