Елементи теорії представлень
1. Основи теорії уявлень. Різніпредставлення хвильової функції (різні уявлення станів)
2. Позначення Дірака
3. Перетворення операторів відодного подання до іншого
Введення
Для створення новоїфізичної теорії необхідно cформуліроватьсистему постулатів, знайти математичний апарат, відповідний фізичнійзмістом розглянутих проблем і встановити зв'язок фізичних фактів зматематичним формалізмом.
Для формулюванняньютонівської механіки потрібно розвиток диференціального й інтегральногообчислення. У 20-му столітті відбулися серйозні зміни в уявленняхфізиків про математичних засадах їх науки. Закономірності мікросвіту докорінночином відрізняються від законів макроскопічного світу, об'єктами якого миє.
Одне з основних понятьквантової механіки - поняття стану квантово-механічної системи. Сенсцього поняття в квантової і класичної фізики різний. Зміст поняттястану квантово-механічної системи буде з'ясовуватися поступово в процесівивчення.
Інформацію про стансистеми отримують в процесі вимірювання, тобто при взаємодії квантовоїсистеми з макроскопічними приладом. Тому результати вимірюванняхарактеризуються тими ж фізичними величинами, які використовуються вкласичної макроскопічної фізики. Фізичні величини в квантовій механіцічасто називають динамічними змінними або спостерігаються. У квантовій механіціфізичні величини мають іншу математичну природу, ніж у класичній,тому що стану квантово-механічної системи і динамічні змінні"Взаємопов'язані вельми дивним чином, який незбагненний з класичноюточки зору ". [1, c31].
У квантовій механіцівивчаються такі явища, які не можуть бути пояснені за допомогою відомих ранішепонять. Адже наша мова - це "зліпок з повсякденного досвіду людини, вінніколи не зможе вийти за межі цього досвіду. Класична фізика якраз іобмежується розглядом явищ, які мають у мові адекватнийсловесний еквівалент ". [1]
При вивченні явищ,відбуваються на іншому структурному рівні організації матерії, на допомогу приходитьінша мова - математика. "Математика є знаряддя, спеціальнопристосоване для оволодіння всякого роду абстрактними поняттями і в цьомувідношенні її могутність безмежно ". [1, c13]. "Тим не менше, - вважає П. Дірак, - математикає лише знаряддя, і потрібно вміти володіти фізичними ідеями безвідносно до їхматематичній формі ". (Там же). Вибір математичних методів, адекватнихфізичної сутності завдання, можливо більш повне простежування аналогій міжпоняттями і методами математики і фізики сприяє формуванню сучасногофізичного мислення. У той же час освоєння абстрактних математичних об'єктівможливо тільки при їх реалізації фізичними об'єктами.
Для опису квантовихвластивостей матерії може бути використаний різний математичний апарат. В1925р. Вернером Гейзенбергом була створена матрична механіка. У цьому ж році,але трохи пізніше, Е. Шредінгер створив хвильову механіку. Він довів також, щообидві формулювання еквівалентні. Найбільш витончена формулювання квантової механікистворена в 1930р англійськими фізиком П. Діраком. Саме це формулювання заразнайчастіше використовується. Усі формулювання квантової механіки еквівалентні,можуть бути перетворені одна в одну і призводять до однакових фізичнимрезультатами.
1. Основи теоріїуявлень. Різні представлення хвильової функції (різніпредставлення стану)
Стани квантово-механічноїсистеми характеризується хвильовою функцією або амплітудою ймовірності.Незалежні змінні, функцією якої вона є, можуть бути різними.Наприклад, декартові координати системи
,
значення її імпульсу
і т. п. Букви,позначають незалежні змінні, називають індексом уявлення. Індекс хвильової функції (в даному випадку) позначає набір значеньфізичних величин або відповідних квантових чисел, які характеризуютьданий стан. Тому цей індекс зазвичай називають індексом стану.
Якщо хвильова функціязалежить від координат, то опис стану за допомогою такої функції називають координатнимподанням. Наприклад, для вільної частинки, що рухається уздовж осі, вкоординатному представленні.
Хвильову функцію,характеризує стан системи, можна розкласти в ряд по власнихфункцій оператора динамічної змінної. Якщо цей оператор маєдискретний спектр власних значень, тобто
, то
Коефіцієнти розкладаннявизначаються з виразу
(Тут, як і раніше, - твірдиференціалів незалежних змінних). У В§ 2.4.2 був з'ясований фізичний змістцих коефіцієнтів: є ймовірність того, що встані, описуваним-функцією, фізична величина,надається оператором, має значення. Таким чином має сенсамплітуди ймовірності, якщо незалежної змінної є величина. Сукупністьамплітуд єхвильовою функцією в - поданні. Цю сукупністьможна представити у вигляді матриці з одним стовпцем
Якщо спектр власнихзначень оператора безперервний, то аналогічно маємо
Приклад 1. Записатискалярний добуток двох функцій і в - поданні.
Компоненти і в - поданні знаходимо,розкладаючи ці функції в ряд по власних функціях оператора:
, (О™)
(О™О™)
(О™О™О™) (О™V).
Підставляємо розкладання(О™) і (О™О™) в скалярний добуток функцій:
.
Міняючи місцями знакипідсумовування та інтегрування і враховуючи ортонормірованность власнихфункцій оператора отримуємо:
.
Щоб отримати такевираз за правилом множення матриць, слід перемножити матрицю-рядок
(V)
на матрицю-стовпець(О™О™О™):
Матриця (V) транспонованої стосовноматриці (О™V) і її елементикомплексно сполучені з елементами останньої. Така матриця називаєтьсяпоєднаної з і позначається. Таким чином,комплексно сполученої функції під знаком інтеграла відповідає сполученаматриця.
2. Позначення Дірака
Проведена аналогія міжвласними функціями ермітових операторів і ортамі прямокутних координатнихосей. Продовжимо її обговорення.
Вектор в - мірному просторізадається сукупністю, взагалі кажучи, комплекснихвеличин, званих компонентами цього вектора
Аналогія міжспіввідношеннями і очевидна. Вираз визначає вектор через його проекції на осікоординат в багатовимірному просторі. Вираз є розкладанням-функції повласних функціях деякого оператора. Систему ортонормованійвласних функцій, отже, можна розглядатияк базис в безконечномірному просторі, а величини - як компоненти-функції по осях цьогобазису. В залежності від вибору базису (тобто від вибору системи власнихфункцій, отже, від вибору представлення) виходить та чи іншасукупність компонент.
Перехід від одногопредставлення до іншого геометрично означає перехід від системи координат,утворених базисними векторами (власними функціями) одного оператора досистемі координат, утворених базисними векторами (власними функціями)іншого оператора. Таким чином, квантовий стан мікрооб'єктів НЕобов'язково має характеризуватися хвильовою функцією в реальному просторі.Квантовий стан не зводиться до однієї якоїсь сукупності амплітудймовірності
і т. п. Кожна з цихсукупностей відображає одну зі сторін поняття квантового стану і єоднією з можливих його реалізацій. Аналогічно, вектор в - мірному евклідовомупросторі може бути представлений сукупністю його проекцій в різних системахкоординат:
,
і т. п. Тут - базиснівектори (орти), наприклад, у сферичній системі координат, - в декартовій.
Дана аналогія привелаП. Дірака до думки характеризувати стан системи вектором стану вбезконечномірному гільбертовому просторі. Вектор стану він запропонувавпозначати символом. У середині дужки, по Дірака,повинен поміщатися індекс стану, тобто величина або набір величин, яківизначають стан системи. Наприклад, якщо система знаходиться в стані зенергією,то записують або. Цей вектор стану називаютькет-вектором. Він характеризує стан системи незалежно від виборупредставленн...
