а множині, - не є унарний операцією на безлічі, не є алгеброю не є групою.
2) не є алгеброю не є групою, так як не є унарний операцією.
3). - Бінарна операція на множині, - не є унарний операцією не є алгеброю не є групою.
4). - Бінарна операція на множині, - унарна операція на множині, є алгеброю є групою, так як аксіоми виконуються за властивостями раціональних чисел комутативна нескінченна група називається мультиплікативною групою не рівних раціональних чисел.
5). - Бінарна операція на множині, - не є унарний операцією на безлічі, не алгебра не група.
6) симетричної групи безлічі, де. Бієкція. Розглянемо, де - бінарна операція на безлічі (по визначенню Бієкція), - унарна операція на множині, (з визначення тотожної функції і Бієкція) є алгеброю.
Перевіримо аксіоми груп:
- асоціативна операція.
властивість
властивість зворотної функції - група.
Якщо безліч - кінцеве безліч, то група - кінцева група та її порядок дорівнює. Якщо безліч - нескінченне, то - нескінченна група. Якщо в безлічі елементів, то група коммутативна. Група називається симетричною групою безлічі.
7) Група обертань і симетрії правильного трикутника.
I - група обертань правильного трикутника.
Під обертанням трикутника розуміється поворот, який вершини переводить в вершини.
тотожне обертання.
Складемо таблицю множення (роль множення виконує композиція)
З таблиці бачимо, що композиція елементів множини безл
ічі, значить композиція - бінарна операція.
унарний операція на множині.
Тотожне обертання с, тоді є алгеброю.
Перевіримо аксіоми групи:
Операція композиція асоціативна на твір множин, а значить, асоціативна на безлічі.
по властивості тотожною функції.
по властивості зворотної функції.
Значить, є групою, це кінцева група третього порядку, комутативна група (таблиця симетрична щодо головної діагоналі).
II - група обертань і симетрії правильного трикутника.
Розглянемо безліч
Розглянемо
Побудуємо таблицю множення (для операції композиції)
- бінарна операція.
унарний операція.
, значить - алгебра. Аксіоми групи на безлічі виконуються.
Операція композиція не коммутативна (не симетрична)
Кінцева група шостого порядку називається групою обертання і симетрії правильного трикутника.
п.3. Найпростіші властивості груп.
Нехай мультиплікативна група.
Властивості.
, тобто правий зворотний елемент є лівим зворотним елементом до.
Доказ. Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.
тобто правий одиничний є лівим одиничним елементом.
Доказ. Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.
, якщо
Доказ.
якщо
Доказ.
I спосіб:
II спосіб:
I спосіб:
II спосіб:
правий
Тобто існує і единственен правий, існує і единственен лівий зворотний елементи.
якщо
Доказ.
а)
б)
Тобто існує і единственен правий, існує і единственен лівий одиничні елементи.
Доказ.
, мають в групі єдине рішення.
Доказ.
а) Перевіримо, що рішення рівняння
Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.
Перевіримо, що рішення єдино: нехай і - рішення рівняння. Маємо
б) Перевіримо що - рішення рівняння. Ліва частина дорівнює дорівнює правій частини.
Перевіримо, що рішення рівняння єдино: Нехай і - два рішення рівняння. Маємо
Доказ.
п.4. Гомоморфізм груп.
Визначення. Гомоморфизмом групи в групу називається відображення таке, що:
Тобто зберігає операції в групі.
Визначення. Гомоморфизмом групи в групу називається відображення таке, що:
Визначення. Гомоморфизмом групи в групу називається відображення таке, що:
Визначення. Гомоморфизмом групи в групу називається відображення таке, що:
Приклад.
Нехай
Розглянемо функцію;
Перевіримо, що - гомоморфізм:
1.
2.
3.
Значить - гомоморфізм.
Нехай.
Розглянемо функцію і.
Перевіримо:
1)
2)
3)
Значить - гомоморфізм групи в групі.
Теорема. Нехай, - мультиплікативні групи. Якщо і, то - гомоморфізм груп.
Доказ. Перевіримо, що володіє трьома властивостями визначення гомоморфізму. Одна властивість дано в умові. Доведемо, що:.
Доведемо, що:
Значить - гомоморфізм груп.
п.5. Ізоморфізми груп.
Нехай - мультиплікативні групи.
Визначення. Відображення називається ізоморфізмом груп, якщо володіє двома властивостями: - Бієкція і - гомоморфізм груп.
Якщо існує ізоморфізм групи на, то групи називаються ізоморфними.
п.6. Підгрупи.
Визначення. Нехай - мультиплікативна група,,. Кажуть, що безліч - замкнуто щодо операції множення, якщо.
Кажуть, що - замкнуто щодо операції, якщо.
Визначення. Нехай - адитивна група,,.
Кажуть, що - замкнуто щодо бінарної операції, якщо.
Кажуть, що - замкнуто щодо операції, якщо.
Теорема. Нехай - мультиплікативна група,,.
Якщо - замкнуто щодо бінарної операції та унарний операції, то - група, яка називається підгрупою групи.
Доказ.
Так як - замкнуто щодо бінарної операції та унарний операції, то - бінарна операція на множині, а - унарна операція на множині.
Перевіримо, що. Так як, то (так як операція - унарний операція). Маємо (так як - бінарна операція на безлічі). Перевірено, що - алгебра.
Перевіримо, що - група.
Всі аксіоми групи на безлічі виконані, так як. Тому - група.
Приклад.
Розглянемо адитивну групу цілих чисел, знайдемо підгрупи цієї групи. З теорії випливає, що для того, щоб знайти підгрупу, необхідно знайти, замкнуте щодо операцій і.
Нехай; - підгрупа.
- підгрупа (тобто сама група є своєї підгрупою)
- це безліч не замкнуто щодо операції: - не утворює підгрупу.
Розглянемо безліч - безліч цілих парних чисел (Делящихся на ціле число 2). Безліч - замкнуто - підгрупа адитивної групи цілих чисел.
Розглянемо - безліч цілих чисел, кратних числу 3. Це безліч замкнуто щодо операцій і, значить - підгрупа адитивної групи цілих чисел.
Список літератури
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вступний курс математики. Навчально-методичний посібник. 2002
В.Є. Маренич. Журнал В«АргументВ». Задачі з теорії груп.
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.1 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.2 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.3 Основні структури алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Збірник задач з алгебри. Вид. третє - М.: фізмат літ-ра, 2001
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту referat.ru/
