, що безліч комплексних чисел С є полем.
В§ 3. Полем комплексних чисел
Виділимо з поля С комплексних чисел безлічі CR пар виду. Комплексне число виду назвемо дійсним комплексним числом.
Теорема 3.1. Безліч CR дійсних комплексних чисел ізоморфно полю R дійсних чисел.
Доказ. Дійсному комплексному числу поставимо у відповідність є взаємно-однозначним. Покажемо, що вказане відповідність є ізоморфізм відносно додавання і множення. Нехай, тоді й, тобто . Отже, безліч CR ізоморфно полю R. Тому можна ототожнити відповідні елементи цих множин і вважати, що поле комплексних чисел С містить поле дійсних чисел. Дійсне комплексне число в подальшому будемо позначати дійсним числом а.
Комплексне число, не рівне дійсному, називається уявним числом, тобто , Де є уявне число. Уявне число називають чисто уявним числом. Число назвемо уявною одиницею і позначимо літерою i.
Покажемо, що уявна одиниця є рішенням рівняння. Дійсно, . Отже, чи.
Теорема 3.2. Усяке комплексне число може бути представлене у вигляді суми дійсного і чистого мнимого чисел.
Доказ. Уявімо. Таким чином, . Вираз називається алгебраїчної або лінійною формою комплексного числа.
На підставі визначень 2.1, 2.2 і теорем 2.3, 2.5 дії над комплексними числами в алгебраїчній формі можна записати так:
1)
2)
3)
4) .
Зробимо таке висновок. При оперуванні з комплексними числами їх слід розглядати як двочлен щодо букви i. Одержуваний при множенні член i2 треба замінити на (-1).
Теорема 3.3. Поле комплексних чисел С є мінімальним розширенням поля дійсних чисел R.
Доказ. Нехай підполе і відмінно від. Це означає, що є число, причому.
Візьмемо число. Так як К - підполе, то віднімання і ділення чисел з До знову належать К. Отже. За тим же міркувань укладаємо, що за будь-яких а і b, тобто К = С. Це означає, що власних підполів, що містять R, в С немає.
Теорема 3.4. Поле комплексних чисел не впорядковане поле, тобто не існує такого ставлення В«>В», При якому виконуються умови:
1) для всякого комплексного числа z або z> 0, або z <0, або z = 0;
2) якщо і, то і;
3) якщо , То, і навпаки.
Доказ. При кожному відношенні В«>В» повинно виконуватися 1> 0 (якщо припустити противне: 1 <0, то по п.3 -1> 0 і, відповідно до п.2, (-1) (-1)> 0 або 1> 0, що суперечить припущенню 1 <0).
Припустимо, що для комплексних чисел існує таке відношення В«>В», при якому полі З буде впорядкованим полем. Візьмемо. Так як, то, або.
Розглянемо. Тоді, згідно п.2, або -1> 0. Одержали протиріччя.
Нехай. Тоді, згідно п.3,, звідки, згідно п.3, або. Отримали протиріччя. Припустивши, що в полі комплексних чисел існує таке відношення В«>В», при якому поле С стає впорядкованим, ми встановили, що для і не можна визначити, в якому вони перебувають відношенні. Отже, поле комплексних чисел неможливо розташувати ніяким відношенням В«>В».
В§ 4. Категоричність аксіоматичної теорії комплексних чисел
Теорема 4.1. Нехай і - системи комплексних чисел. Тоді існує ізоморфні відображення f системи на.
Доказ. Перш за все домовляються з метою стислості користуватися однаковими знаками операцій в С 'і R', а також в З "і R". Далі, домовляються елементи з С 'постачати одним штрихом:, а елементи з З "двома: Оскільки будь поля дійсних чисел ізоморфні, існує взаємно-однозначне відображення П† безлічі R 'на R "таке, що:
1)
2) .
Визначимо однозначне відображення f безлічі C в З "наступною умовою:.
Неважко переконатися в тому, що f - Взаємно-однозначне відображення С на З ".
Нехай . Маємо
.
Аналогічно перевіряється і умова.
В§ 5. Несуперечність аксіоматичної теорії комплексних чисел
Теорема 5.1. Аксіоматична теорія комплексних чисел несуперечлива щодо аксіоматичної теорії дійсних чисел.
Доказ. Ми вкажемо модель даної теорії. Нехай - поле дійсних чисел. Розглянемо безліч Р пар дійсних чисел і визначимо на Р бінарні операції Г… і 8 (Додавання і множення) наступними умовами:
.
Нам відомо, що - поле. Виберемо в Р підмножина R0 пар виду (а, 0). Зіставимо з кожним дійсним числом а пару. Легко бачити, що П† - взаємно-однозначне відображення R на R0. Далі, маємо:
.
Таким чином, П† - ізоморфне відображення на Отже: а) - Поле дійсних чисел;
б) поле - розширення поля.
Зауважимо також, що (1, 0) і (0,0) - одиниця і нуль поля>. Вважаємо. Маємо.
Отже, на системі виконуються перші 15 аксіом нашої теорії. Нехай, нарешті, М - підмножина Р таке, що:
а)
б)
в)
г).
Доведемо, що в такому випадку будь-який елемент безлічі Р належить безлічі М. В самому справі, маємо.
Теорема доведена.
В§ 6. Моделі комплексних чисел
Побудова моделей систем комплексних чисел сприяло кращому розумінню їх природи.
Нехай М - множина матриць другого порядку над полем дійсних чисел виду. Безлічі М належить: нульова матриця 0, одинична матриця Е і матриця I:
.
Перевіримо, що безліч М замкнуто щодо складання і множення матриць, тобто що сума і твір матриць належать М:
(1)
Легко перевірити, що множення матриць коммутативно. Так як для матриці визначник, то існує зворотна матриця і, отже, в М здійснюється розподіл. Так що безліч матриць з М утворює поле.
Матрицю можна представити сумою
,
тобто .
З (1) випливає правила додавання і множення:
(2)
Встановимо взаємно-однозначна відповідність між комплексними числами і матрицями.
З (2) випливає, що відповідність зберігається при виконанні арифметичних операцій. Отже, поле комплексних чисел ізоморфно М; тобто безліч М є моделлю поля комплексних чисел.
Уявімо матриці у вигляді, де.
Так як, то існує такий кут, що. Звідси.
Відомо, що такі матриці визначають послідовне виконання повороту площини навколо початку координат і розтягнення площини з центром на початку координат з коефіцієнтом розтягування ПЃ. Таким чином, отримано тлумачення комплексного числа як добре відоме перетворення площині.
Розглянемо ще одну модель. Нехай М - множина многочленів одного змінного над полем дійсних чисел. Безліч М є коммутативное кільце. Будемо говорити, що два многочлени і знаходяться в відношенні (позначимо), якщо ділиться на многочлен. Очевидно, що тоді і тільки тоді, коли рівні залишки від ділення на. Відзначу, що залишки будуть многочлени першого ступеня.
Теорема 6.1. Якщо і, то і.
Доказ. Перетворимо. Кожна дужка ділиться на, отже, сума ділиться на. Таким чином, . Аналогічно доводиться для суми.
Зазначене відношення є відношенням еквівалентності, бо виконуються властивості:
1) рефлексивності:
2) симетричності: якщо, то;
3) транзитивності: якщо і, то.
Звідси випливає, що кільце многочленів розпадається на непересічні класи еквівалентних многочленів. Всі многочлени одного класу мають рівні залишки від ділення на, тобто залишок (Многочлена) є характеристикою класу. Визначимо безліч К, елементами і якого є класи еквівалентних многочленів.
Сума і добуток визначаються таким чином. Вибирають будь-які два многочлена,. Обчислюють і і знаходять класи, яким належать сума і твір. Нехай. Тоді вважають . Згідно теоремі 1, сума і твір не залежать від вибору представників. Тому в якості представника будемо завжди брати многочлен (єдиний для даного класу) першого ступеня. Отже, безліч До складається тільки з многочленів першого ступеня.
Нехай. Твір. Знайдемо клас, якому належить твір, тобто залишок від ділення його на. Очевидно,, і залишок дорівнює.
Отже, твір обчислюється за правилом.
Сума.
Тим самим показано, щ...
