о його представляли, тобто вибірка повинна бути репрезентативною (представницької). В силу закону великих чисел можна стверджувати, що вибірка буде репрезентативною, якщо її здійснювати випадково: кожен об'єкт вибірки відібраний випадково з генеральної сукупності, якщо всі об'єкти мають однакову ймовірність потрапити у вибірку.
Вибірковою сукупністю або просто вибіркою називають сукупність випадково відібраних об'єктів.
Репрезентативність - Головна властивість вибірки, що складається в близькості її характеристик (складу, середніх величин і т.д.) до відповідних характеристикам генеральної сукупності, з якої відібрана вибірка.
Існує тісний зв'язок між математичною статистикою і теорією ймовірностей.
Теорія ймовірностей - розділ математики, в якому за даними ймовірностям одних випадкових подій знаходять ймовірності інших подій, пов'язаних будь-яким чином з першими. Теорія ймовірностей вивчає також випадкові величини та випадкові процеси. Одна з основних задач теорії ймовірностей полягає у з'ясуванні закономірностей, що виникають при взаємодії випадкових факторів.
Обсягом сукупності (вибіркової або генеральної) називають число об'єктів цієї сукупності. В даному випадку ми маємо вибірку випадкових значень, об'єм якої дорівнює n = 100.
Спостережувані значення називаються варіантами, а послідовність варіант у зростаючому порядку - варіаційним рядом. Частотою називається число, яке показує, скільки разів зустрічається даний варіант. Відносної частотою w називається відношення частоти до обсягом вибірки n.
Випадкової величиною X називається величина, яка під впливом випадкових обставин здатна приймати різні значення.
вибірка називається кінцева сукупність результатів спостережень X, X, ... , X, представляють собою незалежні, однаково розподілені випадкові величини.
Випадкові величини описуються наступними характеристиками.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності. Математичне очікування наближено дорівнює середньому значенню випадкової величини, тобто служить характеристикою середнього значення випадкової величини.
Нехай випадкова величина X може приймати тільки значення x1, x2, ..., xn, ймовірності яких відповідно рівні p1, p2, ..., pn . Тоді математичне очікування M (X) випадкової величини Х визначається рівністю:
M (X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn.
Якщо дискретна випадкова величина Х приймає рахункове безліч можливих значень, то
,
причому математичне сподівання існує, якщо ряд в правій частині сходиться абсолютно.
В даному випадку М (X) = 9,1947, М (Y) = 30,8216.
Існують також і інші характеристики випадкової величини - це дисперсія та середнє квадратичне відхилення.
Для визначення дисперсії випадкової величини необхідно ввести поняття відхилення випадкової величини від її математичного очікування.
Нехай Х - випадкова величина і М (Х) - її математичне очікування. Розглянемо в якості нової випадкової величини різницю (Х - М (Х)).
Відхиленням називають різницю між випадковою величиною і її математичним очікуванням.
При визначенні дисперсії використовується наступне властивість відхилення:
.
Це призводить до того, що доцільно замінити існуючі відхилення їх абсолютними значеннями або їх квадратами. Так і надходять. Правда, у випадку, коли можливі відхилення замінюють їх абсолютними значеннями, доводиться оперувати з абсолютними величинами, що іноді призводить до серйозних утруднень. Тому найчастіше йдуть по іншому шляху, тобто обчислюють середнє значення квадрата відхилення, яке і називається дисперсією.
Дисперсією випадкової величини Х називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:
.
У нашому випадку = 30,1964, = 269,5502.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають квадратний корінь з дисперсії:
.
= 5,495125, = 16,41798.
Виправлена дисперсія:
S (x) = 30,50141, S (y) = 272,2729.
Вибіркове виправлене середнє квадратичне відхилення:
= 5,522808, = 16,50069.
Часто статистичні дані доповнюються графіками. Графіки є найефективнішою формою представлення даних з точки зору їх сприйняття. Статистичні графіки являють собою умовні зображення числових величин і їх співвідношень за допомогою ліній, геометричних фігур, малюнків або географічних карт-схем. Таким чином, полегшується розгляд статистичних даних, вони стають наочними, виразними, осяжними.
Гістограмою частот називається ступінчаста фігура, що складається з прямокутників, основами яких служать часткові інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють частоті.
Гістограмою відносних частот називається діаграма, на якій зображені стовпці, при цьому вісь Х - це інтервали, а вісь У - це відносна частота зустрічальності:
.
Полігоном частот називають ламану, відрізки якої сполучають точки. Для побудови полігону на осі абсцис відкладають варіанти, а на осі ординат відповідні їм частоти.
Полігоном відносних частот називають ламану, відрізки якої сполучають точки. Для побудови полігону на осі абсцис відкладають варіанти, а на осі ординат відповідні їм відносні частоти.
Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають функцію, що визначає для кожного значення відносну частоту події. За визначенням, де - число варіант, менших ; N - обсяг вибірки. Функція має ті ж властивості, що і ймовірність.
Нормальний розподіл - наближена щільність ймовірності.
Щільність нормального розподілу має вигляд:
а функція розподілу
.
Вихідні дані та їх обробка
Дана вибірка (обсягу n = 100), Залежно числа Y від числа X.
X
Y
X
Y
15
49,4
8,98
30,5
0,212
5,46
10,6
34,5
17,9
57,2
16,8
53,3
7,68
26,9
2,7
11,6
18
56,5
7,58
25,9
14,9
48
12,3
40,4
13,4
43,3
4,06
16,5
0,358
4
0,244
5,02
0,994
7,23
4,86 ​​
17,7
9,78
