тримані пропорції, переконуємося в справедливості теореми.
Достатність. Нехай точки А 1 , В 1 , С 1 лежать на сторонах НД, СА, АС трикутника, і виконано співвідношення (3), М - Точка перетину відрізків АА 1 і ВВ 1 , а відрізок СМ перетинає сторону АВ в точці Q. Тоді, за вже доказанному,. З леми знову слід збіг точок Q = C 1 . Достатність доведена.
Перейдемо тепер до просторового узагальнення теореми Чеви.
Теорема Чеви для тетраедра.
Нехай М - точка усередині тетраедра АВСD, а А 1 , В 1 , С 1 і D 1 - точки перетину площин СМD , AMD, АМВ і СМВ з ребрами АВ, В C , СD і DA відповідно. Тоді (4). Зворотно: якщо для точок, то площини АВС , ВСD 1 і DAB 1 проходять через одну точку.
Доказ.
Необхідність легко отримати, якщо зауважити, що точки А 1 , В 1 , З 1 , D 1 лежать в одній площині (ця площина проходить через прямі А 1 З 1 і У 1 D 1 , пересічні в точці М ), і застосувати теорему Менелая. Зворотна теорема доводиться так само, так і зворотна теоремі Менелая в просторі: потрібно провести площину через точки А 1 , У 1 , С 1 і довести за допомогою леми, що ця площина перетне ребро DA в точці D 1 .
В§ 3. Властивості медіан і бімедіан тетраедра
Медианой тетраедра називається відрізок, що сполучає вершину тетраедра з центром ваги протилежної межі (точкою перетину медіан).
Теорема (Застосування теореми Менелая).
Медіани тетраедра перетинаються в одній точці. Ця точка ділить кожну медіану у відношенні 3:1, рахуючи від вершини.
Доказ.
проведені дві медіани: DD 1 і CC 1 тетраедра ABCD . Ці медіани перетнуться в точці F . CL - медіана грані ABC , DL - медіана грані ABD , а D 1 , C 1 - центри тяжкості грані ABC і ABD . По теоремі Менелая: і. Запишемо теорему для трикутника DLD 1 :; => Доказ проводиться аналогічно для будь іншої пари медіан.
Теорема (Застосування теореми Чеви).
Для початку дамо визначення деяких елементів тетраедра. Відрізок, який сполучає середини перехресних ребер тетраедра називається бімедіаной. Бівисотамі (за аналогією) називають загальні перпендикуляри перехресних ребер.
Теорема.
Бімедіани тетраедра перетинаються в тій же самій точці, що і медіани тетраедра.
Доказ.
У трикутнику LDC відрізки DC і LF перетнуться в точці K . По теоремі Чеви для цього трикутника:, тобто , CK = KD, LK - бімедіана.
Зауваження 1.
FL = FK . Теорема Менелая для трикутника DLK :,, звідси LF = FK .
Зауваження 2.
Точка F є центром тяжіння тетраедра. ,, Значить.
1.2 Різні види тетраедрів
В§ 1. Піфагороі тетраєдри
Трикутник називається пифагорову, якщо у нього один кут прямий, а відношення будь-яких сторін раціонально (Т.е застосовуючи подобу, можна з нього отримати прямокутний трикутник з цілими довжинами сторін).
За аналогією з цим, тетраедр називають пифагорову, якщо його плоскі кути при одній з вершин прямі, а відношення будь-яких двох ребер раціонально (з нього за допомогою подібності можна отримати тетраедр з прямими плоскими кутами при одній з вершин і цілими довжинами ребер).
Спробуємо вивести "Рівняння піфагорових тетраедрів", тобто таке рівняння з трьома невідомими Оѕ, О·, О¶, що будь пифагоров тетраедр дає раціональне рішення цього рівняння, і навпаки, будь раціональне рішення рівняння дає пифагоров тетраедр.
Спочатку дамо спосіб опису всіх піфагорових трикутників.
На малюнку трикутник ОАВ - Прямокутний, довжини його катетів позначені через а і b , а дина гіпотенузи - через р . Число (1) умовимося називати параметром прямокутного трикутника ОАВ (або точніше, параметром "щодо катета а "). Використовуючи співвідношення р 2 = а 2 + b 2 , маємо:
З цих рівнянь безпосередньо отримаємо формули, що виражають відносини сторін прямокутного трикутника через його параметр:
і (2).
З формул (1) і (2) безпосередньо випливає наступне твердження: для того, щоб прямокутний трикутник був пифагорову, необхідно і достатньо, щоб число Оѕ було раціональним. У самому справі, якщо трикутник пифагоров, то з (1) випливає, що Оѕ раціонально. Зворотно, якщо Оѕ раціонально, то згідно (2) відносини сторін раціональні, тобто трикутник пифагоров.
Нехай тепер ОАВС - Тетраедр, у якого плоскі кути при вершині Про прямі. Довжини ребер, витікаючих з вершини О, позначимо через a, b, с , а довжини залишилися ребер через р, q, r .
Розглянемо параметри трьох прямокутних трикутників ОАВ, ОВС, ОСА:
(3)
Тоді за формулами (2) можна виразити відносини сторін цих прямокутних трикутників через їхні параметри:
(4),
(5).
З (4) безпосередньо випливає, що параметри Оѕ, О·, О¶ , задовольняють співвідношенню (6). Це і є загальне рівняння піфагорових тетраедрів.
З формул (3) - (5) безпосередньо випливає наступне твердження: для того щоб тетраедр ОАВС з прямими плоскими кутами при вершині О був пифагорову, необхідно і достатньо, щоб параметри Оѕ, О·, О¶ (задовольняють рівнянню (6)) були раціональними.
Продовжуючи аналогію піфагорова трикутника з пифагорову тетраедром, спробуємо сформулювати і довести просторове узагальнення теореми Піфагора для прямокутних тетраедрів, яка, очевидно, буде вірна і для піфагорових тетраедрів. У цьому нам допоможе наступна лема.
Лемма 1.
Якщо площа багатокутника дорівнює S , то площа його проекції на площину ПЂ дорівнює, де П† - кут між площиною ПЂ і площиною многокутника.
Доказ.
Затвердження леми очевидно для трикутника, одна сторона якого паралельна лінії перетину площині ПЂ з площиною многокутника. У самому справі, довжина цієї сторони при проекції не змінюється, а довжина висоти, опущеної на неї при проекції, змінюється в cosП† раз.
Доведемо тепер, що будь багатогранник можна розділити на трикутники зазначеного виду.
Проведемо для цього через всі вершини багатокутника прямі, паралельні лінії перетину площин, багатокутник розріже при цьому на трикутники і трапеції. Залишається розрізати кожну трапецію по будь-якій з її діагоналей.
Теорема 1 (просторова теорема Піфагора).
У прямокутного тетраедра АВСD , з плоскими кутами при вершині D , сума квадратів площ трьох його прямокутних граней дорівнює квадрату площі грані АВС .
Доказ.
Нехай О± - кут між площинами АВС і DВС, D ' - проекція точки D на ...
