рхні в точці можна задавати за допомогою кута, який воно утворює з вже обраним напрямком.
Покладемо
,
Тоді
(4)
Неважко показати, що
,
де постійна
а в силу умови
позитивна.
Таким чином нерівність
виконується незалежно від вибору кута.
Так як порядок прагнення до нуля при другого доданка в правій частині формули (3) вище двох, то з останньої оцінки можна зробити наступний висновок.
Відхилення зберігає знак (Що співпадає зі знак другого квадратичної форми) для всіх досить малих значень незалежно від вибору напрямку на поверхні.
Це означає, що всі точки поверхні, досить близькі до точки, розташовуються по одну сторону від дотичної площини поверхні в цій точці. Така точка поверхні називається еліптичною точкою.
Наприклад, всі точки сфер - Еліптичні. ([6], [8])
Випадок 2.
.
Друга квадратична форма є знакозмінного.
Покажемо, що в цьому випадку, в точці можна вказати два неколінеарних направлення на поверхні, що володіють наступними властивостями:
- для значень диференціалів, що визначають ці напрямки, друга квадратична форма поверхні, обчислена в точці, звертається в нуль,
- всі інші направлення на поверхні в точці розбиваються на два класи - для диференціалів, що визначають напрямки одного з цих класів, друга квадратична форма позитивна і для іншого негативна.
Нехай деякий напрямок позитивного класу задається кутом. У відповідності з формулою (4) маємо
, ([1], [4], [11])
де
-->p>
Як видно з формули (3), знак відхилення для всіх достатньо малих значень в розглянутому напрямку збігається зі знак другого квадратичної форми. Отже, якщо точка поверхні достатньо близька до точки, то це відхилення позитивно.
Міркуючи аналогічно, можна вказати точки на поверхні, близькі до точки, для яких відхилення буде негативним.
Наведені міркування показують, що поблизу точки поверхня розташовується по різні сторони від дотичної площини. При цьому проекції точок поверхні, відхилення яких розташовані на дотичний площині заповнюються безліч В«МіжВ» цими напрямками ...
У цьому випадку точка називається гіперболічної точкою поверхні.
Випадок 3.
.
Але відмінний від нуля хоч б один з коефіцієнтів,,.
Нехай для визначеності. Тоді друга квадратична форма поверхні в точці може бути записана в наступному вигляді
Тим самим в залежності від знака форма або неотрицательна, або непозитивно. При цьому на поверхні в точці можна вказати напрямок, таке, що визначають його диференціали і звертають друге квадратичну форму в нуль.
Для всіх інших напрямків на поверхні в точці форма має один і той же знак (Що співпадає зі знаком)
У цьому випадку точка називається параболічної точкою поверхні.
Випадок 4. ([1], [11], [12])
Така точка називається точкою уплощения поверхні. Розташування поверхні, поблизу таких точок може бути найрізноманітнішим.
Наприклад, всі точки площині є точками уплощения.
1.5 Середня та гауссова кривизни поверхні
Нам залишилося розглянути ще трохи понять, перш ніж приступити до досліджень. Розглянемо на поверхні довільну - Регулярну кривою, що проходить через точку в напрямку.
Нехай
- природна параметризація кривої. Обчислимо в точці три вектори
- одиничний вектор дотичної до кривої
,
- одиничний вектор нормалі до поверхні
- і вектор
Ця трійка векторів лінійно незалежна. Це дозволяє представити вектор
у вигляді лінійної комбінації
Так як, то
.
Коефіцієнти і мають спеціальні назви.
- нормальна кривизна кривої
- геодезична кривизна кривої.
Приймемо без доведення наступну формулу для обчислення нормальної кривизни поверхні в заданому напрямку
(1)
Як видно з цієї формули нормальна кривизна поверхні в даній точці залежить від напрямку на поверхні.
Визначення 1.3.
Направлення на поверхні називається головним, якщо нормальна кривизна в цьому напрямку досягає екстремального значення.
Покажемо, що в кожній точці-регулярної поверхні знайдеться не менше двох різних головних напрямків.
Нехай - довільна напрямок в точці на поверхні. Тоді
(2)
(2) - дифференцируемая функція змінних і. Відзначимо, що функції коефіцієнтів другій і першій квадратичних форм визначаються тільки вибором точки і від змінних і НЕ залежать.
Вважаючи
,
отримаємо, що
Так як функція
неперервна і, то на відрізку вона або постійна, або має хоча б один максимум. Це й означає, що в кожній точці - Регулярної поверхні є два різних головних напрямки.
Визначення 1.4.
Екстремальні значення нормальних кривизн в головних напрямках називаються головними кривизнами поверхні в даній точці.
Вкажемо спосіб обчислення головних кривизн в даній точці регулярної поверхні.
З формули (2) випливає тотожність відносно змінних і
(3)
Продифференцируем це тотожність по. Враховуючи, що похідна нормальної кривизни в головному напрямку звертається в нуль, отримаємо для головного напрямку
(4)
(5)
Тут - головна кривизна в напрямку.
Розглядаючи отримані співвідношення (4) і (5) як систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих і, отримаємо, що ця система завжди має ненульовий рішення, так як в даній точці регулярної поверхні завжди Тобто головні напрямки.
З цього випливає, що
Обчислюючи визначник, ми одержимо квадратне рівняння для шуканої функції (увага ... ми його будемо використовувати при деяких викладеннях далі).
(6)
Можливі два випадки.
Випадок 1.
Квадратне рівняння має два різних кореня і.
Цим коріння на поверхні відповідає два різних головних напрямки.
Випадок 2.
Рівняння (6) має один корінь кратності 2.
Це можуть бути тільки точки уплощения або омбіліческіе точки (точки округлення) ().
Визначення 1.5.
Середньої кривизною поверхні в даній точці називається полусумма її головних кривизн в цій точці.
(7)
Визначення 1.6.
гауссових кривизною поверхні називається твір її головних кривизн.
(8)
В виду рівняння (6) можна показати, що
(9)
(10)
Цих основних понять нам поки вистачить для розгляду спеціального класу поверхонь.
Глава 2. Поняття поверхні Каталана
2.1 Загальні положення
Визначення 2.1.
Поверхня Каталана - лінійчата поверхня, прямолінійні утворюючі якої паралельні одній і тій же площині.
Визначення 2.2.
Площина, якою паралельні утворюють поверхні Каталана, називається площиною паралелізму .
Визначення 2.3.
Поверхня Каталана, всі створюючі якої перетинають одну пряму, називається коноида.
Зауваження 2.1.
Зазвичай припускають, що рівняння поверхню Каталана:
, причому.
Ми, однак, не будемо враховувати цю умову, а обмежимося зазначеним вище визначенням. І ті, і інші поверхні ми будемо для стислості називати поверхнями Каталана.
Зауваження 2.2.
З визначення поверхні Каталана випливає, що, якщо її рівняння:
, то.
Це очевидно, оскільки всі три вектори (обчислені при одному і тому ж значенні параметра), що беруть участь...
