аніх точок. ЦІМ самим обгрунтуємо Пряме твердження: Якщо М - довільна точка шуканого геометричного Місця точок, то її координати задовольняють знайдене рівняння. Після цього Доводимо обернене твердження: Якщо координати довільної точки М задовольняють знайдене рівняння, то вон належиться шуканому геометричність місцю точок.
Розглянемо приклада.
Задача 1. Дано коло радіуса R и точку А на ньому. Знайте геометричність Місце точок, які ділять Хорді, проведені через точку А кола, навпіл.
Розв'язання. За качан координат візьмемо центр кола так, щоб точка А мала координати - R; 0 (Мал. 134). Нехай АВ - довільна хорда, Що проходити через точку А, а М - одна з точок шуканого геометричного Місця точок, тобто така, Що АМ = ВМ. Позначені координат та точок В і М відповідно через х 1 , у 1 и х, у, матімемо: Звідсі
(1)
Точка В (х 1 ; біля 1 ) лежить га колі, тому її координати задовольняють рівняння кола. Маємо: або, враховуючі рівності (1),
(2)
Звідсі
(3)
Мі показали, Що коли точка М - довільна точка шуканого геометричного Місця точок, то її координати задовольняють рівняння (3).
Тепер потрібно довести, Що довільна точка М (х; у), координат якої задовольняють рівняння (3), належить шуканому геометричність місцю точок. Розглянемо на коордінатній площіні точку В з координатами х 1 = 2х + R, у 1 = 2у. З рівності (2) віпліває, Що точка В лежить на даного колі.
З іншого боку, з рівності х 1 = 2х + R, у 1 = 2у дістанемо: Отже, точка М поділяє хорду АВ навпіл.
Таким чином, рівняння є рівнянням шуканого геометричного Місця точок. ЦІМ рівнянням візначається коло радіуса з центром у точці (Мал. 135).
-->>
Задача 2. Знайте геометричність Місце точок, рівновіддаленіх від даної точки F и даної прямої d, Яка НЕ проходити через Цю точку.
Розв'язання. Нехай відстань від даної точки F до даної прямої d дорівнює р. Візьмемо систему координат так, щоб вісь Ох проходила через точку F и Була перпендикулярно до прямої d (Мал. 136), а вісь Оу поділяла навпіл відрізок осі Ох Між прямою d и цяткою F.
Нехай М (х; у) - довільна точка шуканого геометричного Місця точок. Опустімо з точки М на пряму d перпендикуляр МК. Координати точки К:; координати точки F:
За Умова МК = MF. Запішемо Цю рівність у координатах: Піднесемо до квадрата обідві Частина цієї рівності и спростімо:
або
звідсі
(1)
Мі показали, Що координат та х; у довільної точки М шуканого геометричного Місця точок задовольняють рівняння (1). Справедливе й обернене твердження: точка, координати х, у якої задовольняють рівняння (1), належить шуканому геометричність місцю точок. Справедліві, рівність
Звідсі, беручи До уваги, Що х> 0 і; маємо
З останньої рівності віпліває, Що точка М (х; у) рівновіддалена від прямої d и от точки F, тобто М належиться шуканому геометричність місцю точок.
Знайдене рівняння у 2 = 2 рх візначає лінію, Яка назівається параболи (Малий. 137). Точка F назівається фокусі параболи, а пряма d - директриса.
параболи можна побудуваті так. Проведемо директрису параболи d и позначімо фокус F (Мал. 138). Середина Про відрізка DF належить параболі и є її вершиною. Через довільну точку К Променя OF проведемо пряму, перпендикулярну до осі параболи. Знайдемо Дві точки М и М 1 Перетин цієї прямої з колом, центром Якого є фокус F, а радіус дорівнює відстані від цієї прямої до діректорії d. Точки М и М 1 належать параболі. ЯКЩО проведемо кілька прямих, перпендикулярних до осі параболи, и побудуємо точки Перетин їх з колами, центрами якіх є фокус F, а радіусі дорівнюють відстаням від директриси до відповідної прямої, то дістанемо парі точок параболи. Знайдемо точки сполучімо плавно лінією за допомог лекала.
Задача 3. Знайте геометричність Місце точок, сума відстаней якіх до двох даніх точок є величина стала.
Розв'язання. Нехай відстань Між данімі точками F 1 i F 2 дорівнює 2 с. Візьмемо за початок координат середину Про відрізка F 1 F 2 (Мал. 139), а промінь OF 2 - за додатну піввісь Ох. Тоді точка F 1 матіме координат та - з; 0, а точка F 2 - координати с; 0.
Нехай М (х; у) - довільна точка шуканого геометричного Місця точок. За умів торба F 1 M + F 2 M стала. Позначімо її через 2а. Запішемо Цю рівність у координатах. За формулою відстані Між двома точками дістанемо:
або
Піднесемо до квадрата обідві Частина цієї рівності и спростімо:
Тепер Знову піднесемо обідві Частина рівності до квадрата. Дістанемо:
або після Спрощення:
Оскількі F 1 M + F 2 M> F 1 F 2 , тобто 2а> 2с, то а 2 - з 2 > 0. Позначімо а 2 -з 2 = b 2 . Тоді останню рівність запішемо так: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Поділівші обідві Частина рівності на a 2 b 2 , дістанемо:
(1)
Мі показали, Що координат та х; у довільної точки М шуканого геометричного Місця точок задовольняють рівняння (1). Справедливе и обернене твердження: Якщо координат та довільної точки М задовольняють рівняння (1), то вон належиться шуканому геометричність місцю точок. Таким чином, рівняння (1) є рівнянням шуканого геометричного Місця точок.
Рівнянням візначається опукла Замкніть лінія, Яка назівається еліпсом. Точки F 1 и F 2 назіваються фокусами еліпса. Форму еліпса має лінія похилилася розрізу ціліндрічніх и конічніх тіл: дерева, ковбаса, морквіні ТОЩО.
Еліпс можна побудуваті так. Візьмемо нитку певної довжина (Наприклад, 20 см) i закріпімо її кінці в точка F 1 та F 2 (Мал. 140). (Довжина нитки має буті більшою за довжина відрізка F 1 F 2 ). Натягуємо нитку вістрям олівця и переміщаємо на площині. Вістря олівця опишіть еліпс. Для кожної точки еліпса сума її відстаней від двох нерухомости точок F 1 и F 2 є стала величина (У нашому прікладі ця сума дорівнює довжіні нитки). ЯКЩО довжина нитки залішіті ту саму, а відстань Між фокусами Изменить І знову побудуваті еліпс, то Його форм а змініться (еліпс вітягнеться або округлі).
Розглянутій спосіб Побудова еліпса вікорістовує садівник, щоб надаті клумбі еліптічну форму, маляр, Який будує еліптічній контур для розпису стелі, стоялр, віготовляючі дерев'яні Деталі еліптічної формува.
3. Задачі на відшукання ГМТ
І. Геометричність Місце точок, які перебувають на рівніх віддалях від трьох даніх точок А, В, С, Що не лежати на одній прямій, є точка - центр кола, його призначення та проходити через ці точки.
ІІ. Геометричність Місце крайніх точок рівніх відрізків, дотичності до даного кола, є коло, концентричності з данім.
ІІІ. Геометричність Місце точок, які мают ту властівість, Що кут Між шкірно парою дотичності, Проведення з них до даного кола, має дану величину, є коло, концетрічне з данім.
IV. Геометричність Місце середин рівніх хорд, проведених у даного колі До, є коло, концентричності з данім и дотичності до кожної з ціх хорд.
V. Геометричність Місце точок, Що ділять у даного відношенні відрізкі
C 1 D 1 , C 2 D 2 , C 3 D 3 и т.д. паралельні прямі, які перетінають Сторони даного кута АОВ (рис. 203), є пряма, Що сполучає вершину Пр...
