1, утворюють площину (вона проходить через а1 паралельно l), яка при перетині з w дає образ прямої а1 - пряму а (рис.2).
2) Ставлення, в якому точка ділить відрізок, зберігається, тобто
(рис.2)
Відразу випливає з теореми про перетин сторін кута паралельними прямими.
Перейдемо безпосередньо до побудови прикладу афінної перетворення.
Візьмемо два примірники площині w і один з них перемістимо в інше положення w1 (рис.3). Нове положення якої-небудь точки Аєw позначимо А1єw1. Тепер площину w1 спроектуємо в якому-небудь положенні на w, проекцію точки А1 позначимо А '.
Вийшло перетворення площині w на себе, при якому. В силу симетричних властивостей паралельного проектування для даного перетворення виконуються обидва вимоги певного афінної перетворення, отже, побудоване Зараз перетворення-перспективно-Афінний.
рис.3
3) Основна теорема. Які б не були 2 афінних репера і, існує єдине Афінний перетворення, яке перший переводить у другій.
Існування. Розглянемо перетворення а, яке довільну точку А, що має в репере R координати (х, у), переводить в точку А ', що має в репере R' ті ж координати (рис.4). Очевидно, що а (R) = R '. Покажемо, що а - Афінний перетворення.
рис. 4
Образом прямий l, що має в репере R рівняння ах + ву + с = 0, буде лінія l ', яка в R 'має те ж саме рівняння. Значить, l'-пряма (рис.5). Отже, образом довільної прямої є пряма.
рис. 5
Нехай тепер точка С (х, у) ділить відрізок, що сполучає точки А (х1, у1), В (х2, у2) в відношенні
А так як образи цих точок-А ', В', С 'мають ті ж координати (в іншій системі), то й, отже,
Отже для перетворення О± виконані обидві вимоги визначення, значить О±- Афінний перетворення.
Единственность докази від протилежного. Нехай існує два афінних перетворення О±1 і О±2, при яких. Тоді знайдеться така точка А, що, де (рис.6). Позначимо через К точку перетину прямих ОА і Е1Е2 (якщо ці прямі паралельні, то треба взяти Е1А, ОЕ2, якщо і ці прямі паралельні, треба взяти Е2А і ОЕ1). Так як, то чином точки К буде точка К'1-точка перетину прямих. У силу визначення аффінного перетворення:
Аналогічно для перетворення О±2.
Таким чином
рис. 6
Перше з цих рівностей свідчить, що точки К'1 і К'2 збігаються, а тоді з другого слід А'1 = А'2, що суперечить А. Отримане протиріччя доводить теорему.
Основну теорему можна сформулювати інакше: які б не були два трикутники, існує єдине Афінний перетворення, що переводить один в іншій.
Доведена основна теорема робить поняття афінної перетворення конструктивним. Афінний перетворення задається парою довільних афінних реперів.
4) Рівняння афінної перетворення виходять із основної теореми і формул перетворення афінних координат точно так само, як і рівняння руху і подоби. Нехай дано два реперів і (Рис. 7).
рис. 7
O '(c1, c2),
OM '= OO' + O'M '
виходять рівняння:
Ці рівняння записані в афінної системі координат. Зокрема вони діють і в прямокутних декартових координатах.
2.2 Властивості афінної перетворення
1. Чином паралельних прямих є паралельні прямі.
Доказ від противного. Припустимо, що спосіб паралельних прямих l і m є пересічні в точці А ' прямі l 'і m' (рис.8). В силу взаємної однозначності перетворення точка має прообраз, який позначимо А. Але так як А'єl ', то Аєl. Аналогічно Аєm. Це суперечить паралельності прямих l і m.
рис. 8
2.При афінному перетворенні зберігається відношення двох відрізків, розташованих на одній прямій: (рис.9)
В Насправді, за визначенням афінної перетворення:
.
рис. 9
3.При афінному перетворенні зберігається ставлення паралельних відрізків.
Дано: АВ | | СD. По властивості 2 буде також А'В '| | С'D' (рис.10)
Треба довести:
рис. 10
Для докази проведемо АС, потім DL | | AC. Побудуємо також А'С 'і D'L' | | A'C '. По властивості 2 пряма DL переходить в D'L ' і значить,. Тепер за визначенням:. Але AL = CD, A'L '= C'L', тому звідси відразу виходить потрібне.
4.При афінному перетворенні кут і відношення довільних відрізків, взагалі кажучи, не зберігаються, тому що будь трикутник можна перевести в будь-який інший. Тому висота і бісектриса трикутника перетворюються зазвичай в інші лінії, медіана ж переходить в медіану, так як середина відрізка переходить в середину.
5. При афінному перетворенні паралелограм переходить в паралелограм, трапеція в трапецію.
2.3 Еквівалентні фігури
Аналогічно поняттю рівності і подібності фігур вводиться поняття їх афінної еквівалентності.
Фігура F1 називається афінно еквівалентної фігурі F2, якщо F1 можна аффінним перетворенням перевести в F2.
Коректність цього визначення випливає з того, що афінні перетворення утворюють групу і, отже, введена тут аффинная еквівалентність володіє Транзитивність, рефлексивностью, симетричністю.
Відзначимо деякі класи афінно еквівалентних фігур.
1). Всі трикутники афінно еквівалентні (випливає з основної теореми).
2). Всі паралелограми афінно еквівалентні.
3). Для афінної еквівалентності трапецій необхідно і достатньо, щоб їх підстави були пропорційні.
2.4 Перспективно-Афінний відповідність двох площин
Припустимо, що дві площини w і w 'перетинаються по лінії хх (Рисунок 1). Задамо якусь пряму l, перетинає обидві площині. Відзначимо на площині w довільну точку А і спроектуємо її на площину w ', проводячи через А пряму, паралельну l. Нехай проектувальна пряма перетне площину w 'в точці А'. Точку А ' можна розглядати як проекцію точки А на площину w '. Така проекція називається паралельної і визначається завданням прямий l.
З самого побудови проекції А 'точки А видно, що в свою чергу точку А можна розглядати як проекцію точки А 'на площину w. Таким чином, паралельна проекція являє собою апарат, що має абсолютно однакове значення по відношенню до обох площинах w і w '. Вона відносить кожній точці (А) першої площині цілком певну точку (А ') другий, і назад. Ми отримуємо попарне відповідність точок площин w і w '. Це відповідність є взаємно однозначним, тобто кожній точці одній площині відповідає єдина точка другий, і назад.
Відповідність площин w і w ', встановлене за допомогою паралельної проекції, називається перспективно-аффінним або спорідненим.
Якщо розглядають процес переходу від однієї з даних площин (наприклад, w) до іншої площині (w '), при якому кожна точка (А) одній площині (w) переходить у відповідну точку (А ') іншій площині (w '), як однобічний, то його називають перетворенням площини (w) в площину (w ') - У цьому випадку точку А називають прообразом, а точку А' - її образом.
Проектуючи паралельно площину w на площину w ', виробляємо перспективно-Афінний перетворення площині w у площину w '.
Можна також сукупність всіх точок площини w називати полем точок w і говорити про перетворення поля точок w в поле точок w '.
Поставимо собі завдання вивчити властивості перспективно-афінної відповідності площин.
Займемося, насамперед, питанням про подвійні, або нерухомих, точках нашої відповідності, тобто про таких точках, які збігаються зі своїми відповідними точками. Так як кожна подвійна точка повинна належати як одній, так і іншій площині, то вони повинні лежати на лінії перетину хх площин w і w '. З іншого боку, очевидно, що кожна точка прямої хх є подвійна, так як вона сама собі відповідає. Пряма називається віссю відповідності. Згідно з попереднім вісь відповідності може бути визначена як геометричне місце подвійних точок.
Розглянемо далі якусь пряму АВ на площині w (рисунок 1). Паралельна проекція цієї прямої на площину w 'є пр...
