соняшнику насіння розташовані по характерним дугам, близьким, як показують відповідні вимірювання, до дуг логарифмічної спіралі. У зв'язку з подібними фактами деякі вчені вважають логарифмічну спіраль кривої, яка є одним з виразів законів органічного зростання.
Застосування логарифмічної спіралі в техніці засновані на властивості цієї кривої перетинати всі свої радіус-вектори під одним і тим же кутом 2 . На цій властивості засновані застосування логарифмічної спіралі в техніці. Так, обертові ножі в різних ріжучих машинах (мал. 10) мають профіль, окреслений по дузі спіралі, завдяки чому кут різання (кут між лезом ножа і напрямком його швидкості обертання) залишається постійним уздовж всієї кромки рухомого ножа, що забезпечує менший його знос.
Труба, подводящая струмінь води до лопат турбінного колеса гідроелектростанції, має профіль, окреслений по дузі логарифмічної спіралі. Це дозволяє забезпечити мінімальні втрати енергії на зміна напрямку течії, і, отже, напір води використовується з максимальною продуктивністю.
В історії математики логарифмічна спіраль згадується вперше в 1638 р. Декартом, який визначав нову спіраль як лінію, у якої відношення довжини дуги до відповідного радіус-вектору є постійним.
Логарифмічна спіраль - крива з В«твердимВ» характером. Вона не змінює своєї природи при багатьох перетвореннях, до яких чутливі інші криві. Стиснути або розтиснути цю спіраль щодо її полюса - те ж саме, що повернути її на певний кут. Це властивість логарифмічної спіралі було відкрито Якобом Бернуллі, що називав її spira mirablis-чудова спіраль. Відкриті Бернуллі властивості логарифмічної спіралі залишатися незмінною при різних перетвореннях настільки вразили вченого, що він був схильний надати їм містичний зміст. Якоб Бернуллі заповів висікти логарифмічну спіраль на своєму надгробному камені, супроводивши зображення латинською фразою В«Eadem mutate resurgo В» - В«Змінена, відроджує колишні В».
Далі розглянемо декілька прикладів кривих, полярні рівняння яких містять тригонометричні функції. Побудова цих кривих можна виконати по точках, де приймає значення від 0 до 2ПЂ.
Сімейство троянд Гранді
= sink,
де k - позитивна постійна.
В XVIII в. італійський геометр Гвідо Гранді (1671-1742) створив троянди. Ні, зовсім не ті прекрас-ні квіти, про яких ви, напевно, подумали. Рози Гранді радують нас правильними і плавними лініями, але їх обриси не каприз природи - вони зумовлені спеціально підібраними математичними залежностями. Ці залежності були підказані самою природою, адже в більшості випадків абрис аркуша або квітки представляє собою криву, симетричну відносно осі.
Сімейство троянд Гранді має властивість, яка в природі не відразу й помітиш: так як
| sin (k | ≤ 1,
то вся крива розташована всередині кола одиничного радіуса. У силу періодичності тригонометричних функцій троянда складається з однакових пелюсток, симетричних щодо найбільших радіусів, кожен з яких дорівнює 1.
Найбільш Найкрасивіші В«квітиВ» виходять при k = 2 (четирехлепестковимі троянда) і при k = 3 (Трипелюсткова троянда, хоча читачеві, звернув увагу на рис. 11, б, може здатися, що ця крива більше нагадує пропелер).
Покажемо, як побудувати трипелюсткова троянду. Для побудови цієї кривої спочатку зауважимо, що оскільки полярний радіус неотріцателен, то повинна виконуватись нерівність sin3 ≥ 0, вирішуючи яке знаходимо область допустимих кутів: 0 ≤,
В силу періодичності функції sin3 (її період дорівнює) достатньо побудувати графік для кутів у проміжку 0, а в решті двох проміжках використовувати періодичність. Отже, нехай 0 ≤. Якщо кут змінюється від 0 до 1, sin3 змінюється від 0 до 1, і, отже, змінюється від 0 до 1. Якщо кут змінюється від, то радіус змінюється від 1 до 0. Таким чином, при зміні кута від 0 до, точка на площині описує криву, схожу на контури пелюстки і повертається в початок координат. Такі ж пелюстки виходять, коли кут змінюється в межах від до ПЂ і від до. Розглянемо тепер, як побудувати криву, задану в полярній системі координат рівнянням.
Функція - Періодична з періодом ПЂ, крім того,
sin (2 (,
тому достатньо побудувати криву в першій чверті, потім дзеркально відобразити її відносно осі Оу і використовувати періодичність для побудови кривої в третій і четвертій чвертях.
Функція = Sin2 на відрізку [0; монотонно зростає з 0 до 1, а на відрізку [;] монотонно убуває від 1 до 0. Таким чином, ми отримали пелюстка троянди, лежачий в першій чверті. Решта три пелюстки вийдуть, якщо побудувати криву в що залишилися чвертях.
Відзначимо наступні цікаві властивості четирехлепестковимі троянди:
• четирехлепестковимі троянда є геометричне місце підстав перпендикулярів, опущених з початку координат на відрізок довжиною 1, кінці якого ковзають по координатним осям;
• площа, обмежена четирехлепестковимі трояндою, дорівнює.
Рози Гранди знайшли своє застосування в техніці, зокрема, якщо деяка точка здійснює коливання вздовж прямої, що обертається з постійною швидкістю навколо нерухомої точки - центру коливань, то траєкторія цієї точки буде трояндою.
Взагалі, якщо k - натуральне число, то троянда складається з 2k пелюсток при парному k і з k: пелюсток при k непарному. Якщо k - раціональне число (K =, то троянда складається з т пелюсток у випадку, коли обидва числа т і п непарні, і з 2т пелюсток, коли одне з цих чисел є парним; при цьому пелюстки частково перекриваються. Якщо k - ірраціональне число, то троянда складається з нескінченної кількості частково перекриваються пелюсток.
Лемніската Бернуллі
р 2 = 2соs2.
Лемніската Бернуллі - одна із самих чудових алгебраїчних ліній. З виду рівняння кривої випливає, що крива складається з двох симетричних пелюсток (по зовнішньому увазі ця крива нагадує перевернуту вісімку або бантик). Для точок Лемніската повинно виконуватися нерівність соs2, тому вона розташована між прямими у = В± х. Відзначимо також, що = при = 0.
Покажемо, як побудувати Лемніската Бернуллі. Але спочатку відзначимо, що, оскільки квадрат полярного радіуса неотріцателен, повинне виконуватися нерівність соs2. Вирішуючи це нерівність, знаходимо область допустимих кутів:
0 ≤,
В силу періодичності функції соs2 (її період дорівнює ПЂ) досить побудувати графік для кутів у проміжку а в решті випадках використовувати періодичність
Отже, нехай Якщо кут змінюється від до ПЂ, то cos2 змінюється від 0 до 1 і, отже, змінюється від 0 до
Якщо кут змінюється від ПЂ до, то змінюється від до 0. Таким чином при зміні кута від точка на площині описує криву, що нагадує половинку від вісімки, і повертається в початок координат. Друга половинка вийде, коли кут змінюється в межах від 0 до і від до 2ПЂ.
Лемніската Бернуллі володіє рядом оригінальних геометричних та механічних властивостей:
• кут, складений дотичній до Лемніската в довільній точці з радіус-вектором точки дотику дорівнює 2
• перпендикуляр, опущений з фокусу Лемніската на радіус-вектор якої-небудь її точки, ділить площу відповідного сектора навпіл;
• ця крива (в перекладі з латинської lemniscatus - прикрашений стрічками) є безліч точок М, твір відстаней яких r 1 , і r 2 до двох даних точок F 1 , і F 2 (Фокусів) дорівнює квадрату междуфокусного відстані.
Вперше Лемніската була розглянута Якобом Бернуллі (1654-1705) в 1694 р. Згодом Бернуллі багато годин своїх занять приділяв Лемніската і знайшов кілька її цікавих властивостей.
В техніці Лемніската використовується, зокрема, в якості перехідної кривої на закругленнях малого радіусу, як це має місце на залізничних лініях в гірській місцевості і на трамвай-них шляхах. Таким чином вона забезпечує плавність закруг...
