/i> (x) має найбільше значення і. Якщо перетину, що відповідають різних значень x в цьому проміжку, помістити на одну площину, скажімо,, то всі вони при зробленому припущенні будуть міститися в найбільшому, що має площу, і містити в собі найменше, з площею. Якщо на цих, найбільшому і найменшому, перетинах побудувати прямі циліндри висоти, то більший з них буде містити в собі розглянутий шар нашого тіла, а менший сам буде міститися в цьому шарі. На підставі зробленого спочатку зауваження обсяги цих циліндрів будуть, відповідно, і.
З вхідних циліндрів складеться тіло ( T ), а з виходять - тіло ( U ). Їх обсяги дорівнюють, відповідно, і та, коли прямує до нуля, мають загальний межа (5). Значить такий же буде і об'єм тіла ( V ).
Важливий окремий випадок, коли свідомо виконується вказане вище припущення про взаємне розташування перетинів, представляють тіла обертання . Уявімо на площині xy криву, задану рівнянням, де неперервна і неотрицательна. Станом обертати обмежену її криволінійну трапецію навколо осі x (креслення 9а і 9б). Отримане тіло ( V ), очевидно, підходить під розглянутий випадок, бо перетину його проектуються на перпендикулярну до осі x площину у вигляді концентричних кіл. Тут, так що
.
Якщо криволінійна трапеція обмежена (креслення 9)
і зверху і знизу кривими і, то очевидно,
, (7)
Хоча припущення про перетинах тут може і не виконуватися. Взагалі доведений результат легко поширюється на всі такі тіла, які виходять шляхом додавання або вирахування з тіл, що задовольняють згаданого припущенню.
У загальному випадку можна затверджувати лише наступне: якщо тіло ( V ) має об'єм, то він виражається формулою (6).
Приклади: 1). Нехай еліпс обертається навколо осі x . Так як, то для об'єму еліпсоїда обертання знайдемо
-->>
.
Аналогічно для обсягу тіла, отриманого від обертання навколо осі y , знайдемо вираз. Припускаючи же в цих формулах, ми отримаємо для обсягу Щара радіусу r відоме значення.
2). Те ж - для гілки циклоїди, (). Параметричне рівняння кривої полегшують виконання підстановки, у формулі. Саме:
.
3). Знайти об'єм тривісного еліпсоїда, заданого канонічним рівнянням (креслення 10).
Площина, перпендикулярна до осі x і проходить через точку M ( x ) на цій осі, перетне еліпсоїд по еліпсу. Рівняння проекції його (без спотворення) на площину yz буде таке: (креслення 10).
, ( x = const).
Звідси ясно, що півосі його будуть, відповідно,
і,
а площа виразиться так:.
Таким чином, за формулою (5) шуканий об'єм.
1.3 Довжина дуги
Для початку введемо поняття про спрямляются дузі і її довжини.
Розглянемо на площині криву AB , задану параметричними рівняннями, , (), (8)
де функції і передбачаються безперервними. Будемо вважати, що точка A відповідає значенню, а точка B значенню. При цьому нехай кратних точок на кривій немає, так що різним значенням параметра відповідають і різні точки кривої.
Якщо вважати точки кривої (Креслення 11) розташованими у порядку зростання параметра (тобто з двох точок ту приймати за наступну, яка відповідає більшому значенню параметра), то цим на кривій створюється певний напрям (креслення 11). Візьмемо тепер на кривої AB ряд точок, що йдуть одна за одною в зазначеному напрямку. Їм відповідає ряд зростаючих значень параметра. Впишемо в криву AB ламану і позначимо через p її периметр. Кінцевий межа s для периметра p , при прагненні до нуля найбільшою з сторін ламаної ( p ), називається довжиною дуги : . Якщо така межа існує, то сама крива називається спрямляются .
Перейдемо безпосередньо до вираження довжини дуги інтегралом.
Припустимо додатково, що функції і, що фігурують у рівняннях (8) незамкненою кривої, мають безперервні похідні та.
При цих умовах, як ми доведемо, крива спрямляема і довжина дуги виражається формулою. (9)
Будемо виходити з розбиття проміжку точками на частині довжини. Цим значенням t відповідають вершини ламаної, вписаної в дугу, і довжину її можна визначити як межу периметра P ламаної при прагненні до нуля. Покладемо, і,.
Довжина i -ого ланки вписаною ламаною виразиться так:.
Застосувавши до приростам і функції порізно формулу кінцевих збільшень, отримаємо:
,, причому про значеннях і ми нічого не знаємо, крім того, що обидва вони містяться між і. Маємо тепер, так що для периметра всій ламаної виходить наступне вираз:
.
Якщо замінити у другому слагаемом під знаком кореня скрізь на, то перетворене вираз, очевидно, представить собою інтегральну суму якраз для інтеграла (9). При прагненні до нулю ця сума і буде своїм межею згаданий інтеграл. Для того, щоб показати, що до того ж межі прагне і периметр P ламаної, достатньо виявити, що різниця прагне до нуля.
З цією метою зробимо оцінку цієї різниці. Елементарне нерівність, якщо застосувати його до кожного доданку написаної вище суми в окремо, дасть нам. Зважаючи безперервності функції, по будь-якому заданому знайдеться таке, лише тільки. Якщо взяти всі , Так що і. Це і доводить наше твердження.
Якщо крива задана явним рівнянням в прямокутних координатах, то, приймаючи x за параметр, з формули (9), як її окремий випадок, отримаємо. (9а)
Нарешті, і випадок полярного завдання кривої також приводиться до параметричного за допомогою звичайних формул переходу,; роль параметра тут грає. Для цього випадку,, так що і. (9б)
Приклади:
1). Парабола:. Прийнявши за початок відліку дуг вершину O ( x = 0) , для довільної точки M c абсцисою x маємо:
2). Еліпс:. Зручніше взяти рівняння еліпса в параметричній формі:,. Очевидно,
, де є чисельна ексцентриситет еліпса. Обчислюючи довжину дуги еліпса від верхнього кінця малої осі до будь-якої його точки в першому квадранті,.
Таким чином, довжина дуги еліпса виражається еліптичним інтегралом другого роду; як вказувалося, цей факт послужив приводом для назви В«еліптичнийВ».
Зокрема, довжина чверті обводу еліпса виражається через повний еліптичний інтеграл. Довжина ж всього обводу буде.
1.4 Площа поверхні обертання
Розглянемо питання про обчисленні площі поверхні обертання. Обчислимо площу поверхні обертання, вважаючи її існуючої і має властивістю адитивності.
Нехай маємо на площині xy (саме у верхній півплощині) деяку криву AB , задану рівнянням виду,,, (10)
Де і - функції від параметра, безперервні разом зі своїми похідними. Для простоти будемо припускати її незамкненою і позбавленою кратних точок. Нам зручно ввести як параметр дугу s , відраховується від точки, і перейти до поданням,, (11)
Параметр s змінюється тут від 0 до S , якщо через S позначити довжину всієї кривої AB .
Завдання полягає в визначенні площі Q поверхні, отриманої від обертання кривої AB навколо осі x . Роль незалежної змінної грає.
Якщо виділити елемент ds кривою (креслення 12), то його наближено можна прийняти за прямолінійний і обчислювати відповідний йому елемент площі як площа усіченого конуса з утворюючої ds та радіусами підстави y і y + dy . Тоді, за відомою з шкільного курсу формулою,....
