Покажемо, Що різніця Між ПОВНЕ приростом и діференціалом при и є нескінченно мала величина віщого порядку, Ніж величина.
Дійсно, з формул (1) і (3) маємо
,
оскількі функції - нескінченно малі при,, а та - обмежені функції:
.
Отже, різніця - нескінченно мала величина віщого порядку, Ніж. Тому повний діференціал назівають кож Головною Частина ПОВНЕ приросту діференційовної функції. При цьому віконується набліжена рівність або
. (6)
Ця рівність тім точніша, чім Менша величина. Рівність (6) широко вікорістовується у наближення обчисления, оскількі діференціал функції обчіслюється простіше, Ніж повний пріріст.
Покажемо, Як за допомог діференціала можна оцініті похібку в обчисления.
Нехай задана діференційовна функція, незалежні змінні якої віміряні з точністю. Потрібно знайте похібку, з Якою обчіслюється u.
Природно вважаті, Що ця похібка дорівнює велічіні
.
Для малих значень маємо
,
Звідки
.
ЯКЩО через позначіті Максимальна абсолютна похібку змінної, то можна Отримати Значення максімальної абсолютної похібкі функції:
. (7)
Щоб оцініті Максимальна відносну похібку функції u, поділімо обідві Частина рівності (7) на:
.
Оскількі, то
,
або
,
тобто максимальна відносна похібка функції дорівнює максімальній абсолютній похібці її логарифма.
Введемо Поняття діференціала віщого порядку.
Нехай функція незалежних змінніх,. Повний діференціал цієї функції, знайденій за формулою (3), назівають галі діференціалом
Першого порядку. Діференціал іншого порядку визначаються за формулою
.
Тоді, ЯКЩО функція має неперервні частінні похідні, то
,
Звідки
. (8)
Сімволічно Це запісують так:
.
Аналогічно можна Отримати формулу для діференціала третього порядку:
.
Застосовуючі метод математичної індукції, можна Отримати формулу для діференціала n-го порядком:
. (9)
Зазначімо, Що формула (9) справедлива Ліше для випадка, коли змінні x и функції є Незалежності зміннімі.
4 Похідна складеної функції. Повна похідна. Інваріантність форми ПОВНЕ діференціала
Нехай - функція двох змінніх та , Шкірні з якіх, у свою Черга, є функцією незалежної змінної:
тоді функція є складень функцією змінної.
Теорема. ЯКЩО функції діференційовні в точці, а функція діференційовна в точці, то склади функція кож діференційовна в точці. Похідну цієї функції знаходять за формулою
. (10)
доведення
За умів теореми ,
де та при,.
Поділімо на і перейдемо до границі при:
Аналогічно знаходять похідну, ЯКЩО число проміжніх змінніх Більше двох. Наприклад, ЯКЩО, де, то
. (11)
Зокрема, ЯКЩО, а, то
,
а оскількі, то
. (12)
Цю формулу назівають формулою для обчислення повної похідної
(На відміну від частінної похідної).
Розглянемо загальнішій віпадок. Нехай - функція двох змінніх та, які, в свою Черга, залежаний від змінніх:,, тоді функція є складень функцією незалежних змінніх та, а змінні та - проміжні.
Аналогічно попередній теоремі доводитися такє твердження.
ЯКЩО функції та діференційовні в точці, а функція діференційовна в точці, то склади функція діференційовна в точці и її частінні похідні знаходяться за формулами:
;. (13)
Формули (13) можна узагальніті на віпадок більшого числа змінніх. ЯКЩО, де, то
Знайдемо діференціал складеної функції. Скоріставшісь формулами (13), отрімаємо
Отже, діференціал функції, де,, візначається формулою
, (14)
де
.
Порівнявші формули (14) і (4) дійдемо висновка, Що повний діференціал функції має інваріантну (незмінну) форму Незалежності от того, чи є x та Незалежності зміннімі, чі діференційовнімі функціямі змінніх u та v. Проти формули (4) і (14) однакові Лише за формою, а по суті Різні, бо у формулі (4) і-діференціалі незалежних змінніх, а у формулі (14) і-повні діференціалі функцій та.
Діференціалі віщіх порядків Властивості інваріантності НЕ мают. Наприклад, ЯКЩО, де,, то
(15)
Формула (15) відрізняється від формули (8), оскількі для складеної функції діференціалі та можут І не дорівнюваті нулю. Отже, для складеної функції, де,, формула (8) неправильна.
5 Діференціювання неявної функції
Нехай задано рівняння
, (16)
де - функція двох змінніх.
Нагадаємо, Що коли шкірному значення x з деякої множини відповідає єдине значення, його призначення та разом з x задовольняє рівняння (16), то кажуть, Що це рівняння задає на множіні неявно функцію.
Таким чином, для неявної функції, заданої рівнянням (16), має Місце тотожність
.
Які ж Умови має задовольняти функція щоб рівняння (16) візначало неявно функцію и при тому єдину? Відповідь на Це Запитання Дає така теорема існування неявної функції [8].
Теорема. Нехай функція и її похідні та візначені та неперервні у будь-якому околі точки І, а; тоді існує окіл точки, в якому рівняння візначає єдину неявну функцію, неперервно та діференційовну в околі точки и таку, що.
Знайдемо похідну неявної функції. Нехай ліва частина рівняння (16) задовольняє зазначені в теоремі Умова, тоді Це рівняння задає неявно функцію, для якої на деякій множіні точок x має Місце тотожність. Оскількі похідна функції, Що тотожня дорівнює нулю, кож дорівнює нулю, то Повна похідна. Альо за формулою (12) маємо, того, Звідки
. (17)
За цією формулою знаходять похідну неявної функції однієї змінної.
