b>
. 2.1 Дуальні числа як орієнтовані прямі площині.
Дві орієнтовані прямі будемо називати паралельними лише в тому випадку, якщо вони паралельні в звичайному сенсі і спрямування цих прямих збігаються (рис. 1, а); паралельні прямі протилежних напрямків будемо називати протівопараллельнимі (рис. 1, б).
а б
Рис. 1
Під відстанню від прямої a до не перетинає її прямий b будемо розуміти орієнтоване відстань { A , b } від a до b , тобто орієнтоване відстань від довільної точки прямої a до прямої b ; очевидно, що { a , b } = - { b , a }, якщо a і b паралельні, і { a , b } = { b , a }, якщо a і b протівопараллельни.
Полярні координати точок площині визначаються завданням деякої точки O (полюси системи координат) і проходить через O орієнтованої прямий o (полярної осі); координатами точки M служать відстань r = OM цієї точки від полюса і кут = { o , m }, утворений з o орієнтованої прямий m , що з'єднує < i> O і M . Аналогічно цього можна визначити полярні координати орієнтованих прямих площині, для завдання яких треба також вказати деяку орієнтовану пряму o (полярну вісь) і лежачу на o точку O (полюс); координатами прямий l служать кут = { o , l }, утворений l з полярною віссю o , і орієнтоване відстань s = { O , L } від O до точки L перетину l та o (рис. 2, а). Очевидно, що координата s орієнтованої прямий l може мати будь-яке значення, укладену між і; координата - будь-яке значення, укладену між 0 і 2. Природно вважати, що = 0 для прямих, паралельних полярної осі o , і = для прямих, протівопараллельних o ; якщо пряма не перетинає осі o , то координати s вона не має (можна вважати, що в цьому випадку).
Умовимося зіставляти орієнтованої прямий l з полярними координатами і s дуальне число
,, (19)
(рис. 2). При цьому паралельним o прямим, для яких = 0, природно відносити числа нульового модуля, тобто дільники нуля. Щоб встановити точну відповідність між паралельними o прямими і дільниками нуля, зауважимо, що відстань d = { O , l } не паралельної o прямий l від полюса O дорівнює
(20)
(рис. 2, а). Щоб формула (20) зберегла силу і для паралельної o прямий m , віддалений від o на відстані { o , m } = d , то цієї прямої потрібно зіставити число
(тобто, де u = 0 і).
Двом пересекающим o прямим l і l , який вирізняється тільки напрямком і, отже, мають полярні координати () і (), відповідають дуальні числа
і
.
Вважаючи, що це співвідношення зберігає силу і для прямих, що не перетинають o , умовимося відносити протівопараллельной o прямий m , віддалений від o на відстані { o , m } = d , число
(зауважимо, що якщо відстань { o , m } від o до паралельної o прямий m , що збігається за положенням на площині з прямою m , одно d , то d = - d ). Прямий o , що відрізняється тільки напрямом від полярної осі o (Протівоосі), ми зіставимо число.
Тим самим ми встановлюємо повне відповідність між орієнтованими прямими площини і дуальними числами, включаючи сюди також і числа виду w , де w 0 речовинно, і число.
Очевидно, що речовим числах відповідають проходять через полюс O прямі; числах модуля 1 - перпендикулярні o прямі; чисто уявним числам v (числах нульового модуля) і числах нескінченного модуля w відповідають паралельні і протівопараллельние осі o прямі. Спряженим числах і відповідають прямі симетричні відносно полюса O ; протилежним числах і - прямі, симетричні щодо полярної осі o (тобто прямі, що перетинають o в одній і тій же точці L і створюючі з o рівні кути { o , z } = { - z , o }; див. рис. 2, б); числах z і відповідають прямі, що відрізняються тільки напрямком. Таким чином, рівності
(а), (б), (В) (21)
можна розуміти як записи певних перетворень в безлічі орієнтованих прямих площині: симетрії відносно точки O , симетрії відносно прямої o і переорієнтації (зміни напрямку всіх прямих площини на протилежне).
З'ясуємо тепер, як записуються з допомогою дуальних чисел довільні рухи (до числа яких віднесемо і переорієнтацію, також не міняє відстаней між точками площини).
Паралельний перенос уздовж o на відстань t переводить пряму, якій відповідає дуальне число
,
в пряму, якій відповідає число
(рис. 3, а). Звідси випливає, що цей паралельний перенос можна записати так:
, де, (22)
(тому).
Паралельний перенос на відстань t в напрямку, перпендикулярному o , переводить пряму
в пряму
(рис. 3, б). Але
.
Останню формулу можна записати в більш витонченому вигляді. Зауважимо, що
;
таким чином, розглянутий паралельний перенесення записується формулою
, де, . (22, а)
Звідси випливає, що довільний паралельний перенос, тобто перенесення на відстань t в напрямку o і на відстань t в напрямку lo , записується формулою
,, ,
або, якщо ввести позначення (тобто) і скористатися тим, що,,, формулою
, (23)
де, ,,.
Перейдемо тепер до обертання площині. Очевидно, що поворот навколо O на кут переводить пряму в пряму, де (рис. 4). Таким чином,
(24)
(тут використовується той, що якщо z і z - дуальні числа, то, і). Далі, якщо d і d ' - відстані прямих z і z 'від полюса, то
тому
.
З іншого боку, оскільки, то
. (24а)
З (24) і (24а) випливає, що наше обертання записується формулою
, (25)
де, .
Нарешті, саме загальне рух являє собою поворот (25) навколо O на деякий кут, причому це обертання може супроводжуватися ще паралельним переносом (33):
.
В іншому вигляді це перетворення можна записати так:
, (26а)
де, .
Можливо, також, що вихідне рух являє собою симетрію (21б) відносно прямої o , супроводжувану перетворенням (36а) (обертанням навколо O і паралельним переносом):
. (26б)
Нарешті, рух може представляти собою переорієнтацію (21в), супроводжувану одним з перетворень (36а) або (36б):
, (26в)
де, , Або
, (26г)
де, .
Очевидно, що орієнтований кут {} між прямими і дорівнює (рис. 5, а)
Це можна записати так:
.
Отриманий результат можна також представити в наступній симетри...
