що O - Полюс і OX - полярна вісь, то рівняння в полярних координати буде мати вигляд:
.
3. Декартом лист
3.1 Історичні відомості
У 1638 р. Р. Декарт, щоб спростувати (невірно їм зрозуміле) правило П. Ферма для знаходження дотичних, запропонував Ферма знайти дотичну до лінії. При звичайному для нас тлумаченні негативних координат ця лінія, яку в 18 столітті стали називати декартовим листом, складається з петлі OBAC (Рис.4) та двох нескінченних гілок (OI, OL).
Але в такому вигляді її представив вперше Х. Гюйгенс (1692 р.). До цього лінію представляли в вигляді чотирьох пелюсток (один з них OBAC), симетрично розташованих в чотирьох координатних кутах. Тому її називали В«Квіткою жасминуВ».
3.2 Побудова
Щоб побудувати Декартом лист з діаметром петлі проведемо окружність A радіусу і яку пряму GH, паралельну AO. Далі проведемо прямі AA М• і OE, перпендикулярні AO, і відзначимо точки A М• , E їх перетину з GH. Нарешті, відкладемо на промені OA відрізок OF = 3OA і проведемо пряму FE. Тепер шукана лінія будується по крапках наступним чином.
Через O проводимо будь-яку пряму ON і через точку N, де ця пряма перетинає (вдруге) окружність, проводимо NQAA М• . Точку Q, де NQ перетинає пряму OF з'єднуємо з A М• і відзначаємо точку K, де QA М• перетинає FE. Проводимо пряму AK до перетину з прямою GH в точці Q М• . Нарешті, відкладаємо на прямій OA відрізок OP, рівний і равнонаправленний з відрізком A М• Q М• . Пряма M 1 M 2 , проведена через P паралельно AA М• , перетне пряму ON в точці M 1 . Ця точка (а також точка M 2 , симетрична їй щодо AO), належить шуканої лінії.
Коли точка N, виходячи з O, описує коло A проти годинникової стрілки, точка M 1 описує траєкторію LOCABOI.
3.3 Особливості форми
Точка O - Вузлова. Дотичні, що проходять через O, збігаються з осями координат. Пряма OA () Є вісь симетрії. Точка, найбільш віддалена від вузлової точки, називається вершиною (коефіцієнт виражає діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшій хорді OA петлі, так що). Пряма UV () - Асимптота обох нескінченних гілок.
3.4 Завдання
Написати рівняння декартова аркуша в прямокутній системі координат і, прийнявши точку O за полюс, в полярній системі координат.
Рішення:
Рівняння в прямокутній системі:
.
Рівняння в полярній системі (OX - полярна вісь):
.
4. Равлик Паскаля
4.1 Визначення та побудова
Дано: Точка O ( Полюс ), окружність K діаметра OB = a (Рис.6), що проходить через полюс ( основна окружність ; вона показана на кресленні пунктиром), і відрізок. З полюса O проводимо довільну пряму OP. Від точки P, де пряма OP вдруге перетинає коло, відкладаємо в обидві сторони від P відрізки. Геометричне місце точок M 1 , M 2 (Жирна лінія на рис.6) називається равликом Паскаля - на честь Етьєна Паскаля (1588 - 1651), батька знаменитого французького вченого Блеза Паскаля (1623 - 1662).
4.2 Історичні відомості
Термін В«равлик ПаскаляВ» запропонований Ж. Роберваля , сучасником і другом Паскаля. Роберваля розглядав цю лінію як один з видів узагальненої конхоида.
4.3 Особливості форми
Равлик Паскаля симетрична відносно прямої OB. Ця пряма (вісь равлики) перетинає равлика: 1) в точці O (Якщо остання належить равлику); 2) у двох точках A, C ( вершини ). Форма лінії залежить від співвідношення між відрізками і.
1) Коли (лінія 1 жирна; для неї) равлик Паскаля перетинає сама себе в вузловій точці O
,
утворюючи дві петлі: зовнішню OHA 1 GO і внутрішню OH ' C 1 G ' O. Кутовий коефіцієнт дотичних OD, OE в вузловій точці:
.
Для побудови дотичних досить провести хорд OD, OE довжини l в окружності K. Найбільш віддаленим від осі точках G, H зовнішньої петлі відповідає значення
;
Найбільш віддаленим точкам G ', H ' внутрішньої петлі - значення
.
Відповідне полярне значення полярного радіуса:
.
2) Коли (лінія 2 на рис.6), внутрішня петля затягується до полюса і перетворюється в точку повернення, де рух у напрямку променя OX змінюється рухом у протилежному напрямку. Найбільш віддаленим від осі точкам L, M відповідають значення
.
Лінія 2 називається кардіоїда , тобто В«СердцеобразнойВ» (термін введений Кастіллоном в 1741г.). Вона зображена окремо на рис.7
3) Коли (Лінія 3; для неї), равлик Паскаля - замкнена лінія без самопересеченія; відірвавшись від полюса, вона укладає його всередині себе. Найбільш віддаленим від осі точках L ', N ' відповідає значення. Втративши точки повернення, равлик набуває замість точки перегину R, Q, яким відповідає значення. Кут ROQ , Під яким відрізок RQ видно з полюса, по Принаймні зростання спочатку зростає від нуля до; цьому значенню відповідає. При подальшому збільшенні кут ROQ убуває, прагнучи до нуля при.
4) При точки перегину, зливаючись з вершиною C пропадають (Причому кривизна в точці C стає рівною нулю). Улітку набуває овальну форму і зберігає її при всіх значеннях
(лінія 4; для неї). Найбільш віддаленим від осі точках L '' , N '' відповідає значення
.
4.4 Властивості нормалі
Нормаль равлики Паскаля в її точці M (рис.7) проходить через точку N основного кола K, діаметрально протилежну тій точці P, де OM перетинається з основний окружністю.
4.5 Побудова дотичній
Щоб провести дотичну до равлику Паскаля в її точці M, соежіняем останню з полюсом O. Точку N основний окрудності K, діаметрально протилежних точці P, з'єднуємо з M. Пряма MN буде нормаллю до равлику. Проводячи MT MN, отримаємо шукану дотичну.
4.6 Завдання
Дана равлик Паскаля з полюсом в точці O. Написати рівняння в прямокутній і полярній системах координат.
Рішення:
Нехай початок координат - В полюсі O, вісь OX спрямована по променю OB. Тоді рівняння в прямокутній системі координат буде мати вигляд:
. (1)
Строго кажучи, це рівняння являє фігуру, що складається з равлики Паскаля і полюса O, який може і не належати певному вище геометричному місцю (такий випадок має місце для ліній 3 і 4 на рис.6).
Рівняння в полярній системі (O - полюс, OX - Полярна вісь):
, (2)
де змінюється від якого-небудь значення до.
5. Лемніската Бернуллі
5.1 Визначення
Лемніската є геометричне місце точці, для яких твір відстаней від них до решт данно отрещка одно. Точки F 1 , F 2 називаються фокусами Лемніската; пряма F 1 F 2 - Її віссю.
5.2 Історичні відомості
У 1694 р. Якоб Бернулі в роботі, присвяченій теорії припливів і відливів, використовував у як допоміжний засіб лінію, яку він задає рівнянням. Він відзначає схожість цієї лінії (рис.8) з цифрою 8 і узлообразних пов'язкою, яку він іменує В«лемніскомВ». Звідси називання Лемніската. Лемніската от...
