х позицій. Можна заборонити використання гіпотези континууму, але це істотно обмежить коло теорем, доводжуваних в рамках системи. Можна вчинити інакше і включити в систему аксіом гіпотезу континуума або її заперечення. При цьому невідомо, до яких важливим наслідків може призвести заперечення гіпотези континууму. Сказане означає, що існує не одна, а багато математик. Теорія множин (розглянута окремо від інших підстав математики) може розвиватися у багатьох напрямках. Зупинити свій вибір на одному з напрямків нелегко, так як в будь-якому випадку ухвалення певної редакції аксіом має свої позитивні і негативні сторони.
В§ 2. Рахункові безлічі
Визначення 1. Нехай А і В дві безлічі. Правило, яке кожному елементу а множини А співвідносить один і тільки один елемент множини В, причому кожен елемент виявляється співвіднесеним одному і тільки одному елементу, називається взаимнооднозначное відповідністю між множинами А і В.
У цьому випадку множини А і В називаються еквівалентними або ж говорять, що ці множини мають однакову потужність. Позначення
Визначення 2. Нехай множина всіх натуральних чисел. Всяке безліч А, еквівалентне безлічі, називається ісчіслімим, або рахунковим, або коротше має потужність.
Теорема 1. Для того щоб безліч А було рахунковим, необхідно і достатньо, щоб його можна було перенумерувати, тобто представити у формі послідовності
Теорема 2. З усякого нескінченної безлічі можна виділити рахункове підмножина.
Теорема 3. Усяке нескінченне підмножина рахункового безлічі лічильно.
Слідство 1. Якщо з рахункового безлічі А видалити кінцеве підмножина М, то залишився безліч А - М буде рахунковим.
Теорема 4. Сума кінцевого безлічі і рахункового безлічі є рахункове безліч.
Теорема 5. Сума кінцевого числа рахункових множин є рахункове безліч.
Теорема 6. Сума рахункового безлічі кінцевих множин є рахункове безліч.
Теорема 7. Сума рахункового безлічі рахункових множин є рахункове безліч.
Теорема 8. Безліч всіх раціональних чисел счетно.
Доказ
Безліч дробів виду з зафіксованим знаменником, тобто безліч
очевидно лічильно
Але знаменник може приймати також рахункове безліч натуральних значень. Значить, в силу теореми 7, безліч
М = - лічильно
Видаляючи з М усі скоротливі дробу і застосовуючи теорему 3, переконуємося в счетності всіх позитивних раціональних чисел, а значить в счетності всіх негативних раціональних чисел, тому безлічі
Звідси безліч все раціональних чисел счетно, оскільки
Теорема доведена.
Слідство 1. Безліч раціональних чисел будь-якого відрізка лічильно.
Теорема 9. Якщо до нескінченного безлічі М додати кінцеве або рахункове безліч А нових елементів, то це не змінить його потужності, тобто
Доказ
Виділимо, користуючись теоремою 2, з М рахункове підмножина і нехай, тоді,. Так як,, застосовуючи теореми 4 і 5, отримуємо.
Теорема доведена.
Теорема 10. Якщо нескінченну безліч незліченно, а А його кінцеве або рахункове підмножина, то.
Доказ
Безліч не може бути кінцевим, інакше вихідна безліч було б кінцевим або рахунковим. Але тоді за теоремою 9, буде, а це і означає, що. Теорема доведена.
Теорема 11. Якщо елементи множини А визначаються значками, кожен з яких, незалежно від інших, пробігає рахункове безліч значень
(, то безліч А лічильно.
Доказ
Доведемо теорему методом математичної індукції.
Теорема очевидна, якщо.
Припустимо, що теорема справедлива для, покажемо, що вона справедлива і для.
Нехай
Позначимо через безліч тих елементів А, для яких, де одне з можливих значень-го значка, тобто покладемо
У силу зробленого допущення безліч лічильно, а так як
, то лічильно і А
Теорема доведена
Слідство 1. Безліч точок площини, у яких обидві координати раціональні, лічильно.
Слідство 2.Множество многочленів з цілими коефіцієнтами лічильно.
Теорема 12. Безліч алгебраїчних чисел лічильно [6; 20].
В§ 3. Потужність континууму
Теорема 1. Відрізок несчетен.
Доказ
Припустимо противне.
Нехай відрізок - рахункове безліч. Тоді всі його точки можна розташувати у вигляді послідовності
(1)
Нехай це зроблено, тобто всяка точка знаходиться в послідовності (1).
Розділимо на три рівні частини точками і (Рис. 1). Ясно, що точка не може належати всім трьом відрізкам, , І хоча б один з них не містить її. Позначимо через той відрізок, який не містить (якщо таких відрізків два, то через називаємо будь-який з них).
Рис. 1
Тепер розділимо на три рівних відрізка відрізок і позначимо через той з нових відрізків, який не містить точки.
Потім ділимо на три рівних відрізка відрізок і позначаємо через той з них, який не містить точки і т.д.
В результаті ми отримаємо нескінченну послідовність вкладених один в одного відрізків які володіють тим властивістю, що,.
Так як довжина відрізка зі зростанням прагнути до нуля, то по теоремі Кантора про вкладені відрізки, існує точка, спільна для всіх відрізків,.
Так як, то точка повинна входить в послідовність (1). Але це неможливо, бо,. Звідси отримуємо, що точка не може збігтися з жодною з точок послідовності (1).
Теорема доведена
Визначення 1. Якщо множина А еквівалентно відрізку то говорять, що А має потужність континууму, або коротше, потужність с.
Теорема 2. Всякий відрізок, всякий інтервал і всякий полуінтервал або має потужність с.
Доказ
Нехай,
Формула
встановлює взаимнооднозначное відповідність між множинами і, звідки і випливає, що А має потужність континууму.
Так як видалення одного або двох елементів з нескінченної безлічі призводить до безлічі, еквівалентному вихідного, то проміжки,, має ту ж потужність, що і відрізок, тобто потужність с.
Теорема доведена.
Теорема 3. Сума кінцевого числа попарно не перетинаються множин потужності з має потужність с.
Доказ
Нехай
,
де кожне з множин має потужність с.
Візьмемо полуінтервал і точками розкладемо його на полуінтервалов ,
Кожен з цих полуінтервалов має потужність з, так що ми можемо пов'язати безліч і полуінтервал взаимнооднозначное відповідністю. Легко бачити, що таким чином виявляється, встановлено взаимнооднозначное відповідність між сумою і полуінтервалом
Теорема доведена.
Теорема 4. Сума рахункового безлічі попарно не пересічних множин потужності з має потужність с.
Доказ
Нехай
,
де кожне з множин має потужність с.
Візьмемо на полуінтервале монотонно зростаючу посл...
