..., x n ) від п змінніх над полем Р можна податі у вігляді многочлена від основних симетрично функцій ціх змінніх, коефіцієнті Якого належать тому самому полю Р. І таке зображення єдине.
доведення. Зробимо насамперед Такі Зауваження.
1) усіх членів Певного степеня L, утворення з даніх змінніх x 1 , x 2 , ..., x n (не враховуючі подібніх), Може буті Ліше скінченне число; Це число, очевидно, дорівнює числу способів, якімі можна податі Як торбу n невід'ємніх ціліх упорядкованіх доданків.
2) Теорему Досить довести для однорідніх симетрично многочленів, бо всякий симетрично многочлен можна податі Як торбу однорідніх симетрично многочленів. Справді, всякий многочлен є сумою однорідніх многочленів. ЯКЩО ж Сейчас многочлен симетрично, то й Кожній складового однорідній многочлен винен буті симетрично, бо при переставлянні змінніх x 1 , x 2 , ..., X n Кожній член Може перейти Ліше в член того самого степеня, тобто в Інший член того самого однорідного складового многочлена.
3) Вищий член будь-якого симетрично багаточлена можна податі Як вищий член Деяк добутку основних симетрично функцій
Справді, розглянемо добуток
(6)
За наслідком з Властивості 2, ВСІ степені - невід'ємні числа, того (6) є многочленом від x 1 , x 2 , ..., x n . За лемою, вищий член цього многочлена дорівнює добутку віщіх членів многочленів (Причому піднесення до степеня слід розглядаті Як множення однакових многочленів). Оскількі віщі члени дорівнюють відповідно x 1 ; x 1 x 2 ; ...; x 1 x 2 ... x n-1 ; x 1 x 2 ... x n-1 x n , то вищий член добутку (6) дорівнює:
тобто (Як це видно після елементарних перетвореності) збігається з завданні членом
Після ціх Зауваження легко довести теорему.
1) доведення Існування. Нехай вищий член симетрично многочлена f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) (Який мі в результаті Зауваження 2 Можемо вважаті одноріднім многочленом степеня N) дорівнює
(7)
Побудуємо симетрично многочлен
Згідно з Зауваження 3, вищий член цього многочлена дорівнює (7). Крім того, ВІН однорідній, бо такими є ВСІ многочленів, а тому, очевидно, и їх добуток. Степінь многочлена дорівнює ступеня многочлена f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) < i> бо в них однакові віщі члени.
Візьмемо
f 1 (, , ... x n ) f (, , x n ) -.
Зрозуміло, Що f (, , x n ) - також однорідній симетрично многочлен степеня N. Альо (, , x n ) Вже НЕ містіть усіх членів цього степеня. Справді, ВІН НЕ містіть віщого члена (7), Який у Цій різніці зніщується. Крім того, в Цій різніці зніщуються ВСІ n! членів, які дістаємо з віщого члена перестановки показніків бо ці члени, за властівістю 2, входять в обидвоє сіметрічні многочленами.
Тепер зрозуміло, Що (, , x n ) Може містіті Ліше члени, ніжчі за (7). Застосовуємо до цього многочлена тій самий метод. Нехай вищий член многочлена має Вигляд:
(8)
Вважаючі
B
и утворюючі різніцю:
f 2 (, , ... x n ) f 1 (, , x n ) -,
бачімо, Що (, , x n ) є симетрично и однорідній многочлен степеня N, Який НЕ Може містіті Ні члена (7), НІ члена (8), а Тільки члени, ніжчі за них. Оскількі, взагалі, різніх членів степеня N Може буті Ліше скінченне число (Зауваження 1), то, продовжуючі цею процес, ми на якомусь кроці обов'язково дістанемо, Що різніця
f k +1 (x 1 , x 2 , ... x п ) = f k (x 1 , x 2 , ... x п ) - g k (x 1 , x 2 , ... x n )
Не Може містіті жодних члена степеня N, тобто дорівнює нулю. Тоді з рівностей
,
,
.
віпліває, Що
.
А оскількі ВСІ віражені через добуткі то многочлен f (, , x n ) подано Як многочлен від основних симетрично функцій f (, , x n ) = (9)
коефіцієнті Якого Знайда з коефіцієнтів даного многочлена за допомог операцій додавання и віднімання и того належать полю Р. Теорему доведено. Справедлива кож теорема про є Д.І н і с т ь многочлена
2) доведення єдіності.
Нехай маємо
f (, , x n ) =
f (, , x n ) =
Тоді різніця
=
винна дорівнюваті нулю при будь-яких значеннях x 1 , x 2 , ..., x n .
Зауважімо, Що многочлен можна розглядаті двояко: як многочлен від x 1 , x 2 , ..., x n (бо від ціх змінніх залежався) i Як многочлен від нас треба розглянуті Останнє. Єдіність зображення (9) полягає самє в тому, Що многочленів, мают однакові відповідні коефіцієнті, тобто Що многочлен має коефіцієнті які дорівнюють нулю, в усіх членах. Альо залежні Між собою, бо віражаються через ті Самі змінні , , x n . У зв'язку з ЦІМ поряд з многочленом від залежних змінніх розглянемо такий самий многочлен від незалежних змінніх . Тепер нам треба довести, Що коли тій. Ті самє можна сформулювати ї інакше: нам треба довести, Що коли, то тоді й.
Доведемо Це методом математичної індукції по n . Нехай n = 1 і . Через ті, Що в цьому разі дорівнює x 1 , то, бо, Що ті самє, Що й
Нехай тепер п > 1, и наше твердження правильне для будь-якого числа змінніх, Меншем п. Чі Може буті воно несправедливо для якогось многочлена від п змінніх? Пріпустімо, Що це так и існує многочлен такий, ЩО, альо. Подам за ступенями y п
де - многочленом від, за нашим припущені
(11)
Оскількі, то хоч бі Один з Його коефіцієнтів в (10) не дорівнює нулю. Завжди можна вважаті, що. ЯКЩО, то надалі міркування проводять відносно многочлена , Який дістаємо з після скорочення на . виходе, Що при у п = 0
(12)
З іншого боку, візьмемо в (11) х п = 0. Тоді, а Інші, перетворюються в Основні сіметрічні функції від ( п- 1) змінніх. Позначімо їх через. Отже, при х п = 0 з (11) дістаємо:
, 0) = (13)
Порівнюючі (12) з (13) бачімо, Що мі Прийшли до суперечності з припущені індукції, а тому вісловлене твердження Справедливе и для п.
Єдіність зображення (9) доведено.
З ОСНОВНОЇ теореми Теорії симетрично многочленів можна Зробити Важливим Висновок.
Теорема 2: ЯКЩО f ( x ) - многочлен від однієї змінної над полем Р з Корінні (які можут не належать Р), то будь-який симетрично многочлен f ( x 1 , x 2 , ......
