тися такі педагогічні ситуації, які допомогли б учням відкрити характерну особливість системи математичних понять, пов'язану з дедуктивним побудовою теорії. Для цієї мети можна використовувати різний конкретний матеріал. Наприклад, можна побудувати таку послідовність визначень:
П1: квадрат - ромб з прямим кутом;
П2: ромб - паралелограм з рівними суміжними сторонами;
П3: паралелограм - чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні;
П4: чотирикутник - багатокутник з чотирма сторонами;
П5: багатокутник - фігура, обмежена замкнутою ламаною лінією;
П6: фігура - безліч точок.
Як видно, цей процес відомості одних понять до інших доходить до понять "Безліч" і "точка", які приймаються за початкові і саме тому не визначаються через інші поняття.
Отже, початкові, вихідні поняття не визначаються явним чином через інші поняття даної теорії. Це, однак, не означає, що вони ніяк не визначаються. У аксіомах виражаються основні властивості вихідних понять і відносин між ними, якими користуються при розгортанні теорії на базі цих аксіом, тобто при доказі теорем і визначенні інших (визначених) понять. Тому системи аксіом можна розглядати як неявні, непрямі визначення вихідних понять. Таким чином, коли говорять, наприклад, що поняття "точка" і "пряма" - вихідні поняття і тому не визначаються, треба це розуміти точніше: "не визначаються явно через інші поняття".
Один і той же розділ шкільного курсу математики може будуватися за допомогою різних систем понять, що розрізняються між собою порядком введення понять або самими поняттями. Вибір вихідних понять не визначає однозначно послідовність вивчення понять системи. Система понять виявляється лише частково упорядкованою. Наприклад, в традиційній системі понять стереометрії такі поняття, як "Кут перехресних прямих" та "перпендикулярність прямих і площин ", можуть вивчатися в будь-якому порядку. У підручнику А. П. Кисельова кут перехресних прямих вивчався після перпендикулярності і тому перпендикулярність прямих у просторі, ознака перпендикулярності прямої і площині, теорема про три перпендикуляри формувалися лише в окремих випадках. В результаті такого розташування матеріалу учні вивчали теорему про три перпендикулярах лише для випадку, коли пряма на площині проходить через підставу похилій, і не могли бачити її застосування в задачах, де пряма на площині не проходить через основу похилої. У більшості ж випадків саме така ситуація спостерігається в задачах.
Про визначенні не має сенсу говорити, істинно воно або помилково. Визначення може бити правильним (коректним) або неправильною (некоректним) в залежності від того, задовольняє воно чи ні певним вимогам.
Найважливішим вимогою, що пред'являються до визначень, є відсутність порочного кола. Порушення цієї вимоги проявляється в тому, що обумовлене міститься (явно або неявно) у визначальному. Наприклад, фрази: "Рішення рівняння - це те число, яке є його рішенням "," Подібними називаються фігури, які між собою подібні "- не можуть служити визначеннями рішення рівняння і подібних фігур відповідно, так як у кожному з цих пропозицій міститься порочне коло.
Порочне коло може відноситися не до окремої ухвали, а до двох або кількох визначень. Наприклад, у двох визначеннях: "Кут називається прямим, якщо його боку взаємно перпендикулярні "і" Дві прямі взаємно перпендикулярні, якщо вони утворюють прямий кут "- мається порочне коло, так як в одному поняття прямого кута визначається через перпендикулярні прямі, а в іншому це друге поняття визначається через перше.
Інша важлива вимога, виконання якого необхідно для коректності визначення, - Це відсутність омонімії: кожен термін (символ) має зустрітися не більше одного разу в якості обумовленого. Порушення цієї вимоги призводить до того, що один і той же термін (символ) позначає різні поняття, тобто порушується один із принципів вживання символів або термінів в якості імен.
Певні мовні вирази (символи штучної мови або терміни, слова або групи слів природної мови) виконують функцію позначення. Вони зіставляються певних класів об'єктів (речей, відносин) або їх уявним образам (Поняттями) в якості назв, імен.
Зв'язок імен з їх значеннями (з ними позначається об'єктами) відображає зв'язок мислення з промовою. Формування понять можливе лише за умови їх іменування, тобто приписування їм певних імен. Тому важливо нагадати принципи коректного вживання імен.
1) Принцип предметності: пропозиція говорить про предмети, імена яких зустрічаються в цьому реченні (а не про їх імена). Наприклад, пропозиція "3 <5" говорить про те, що число, позначене цифрою 3, менше числа, позначеного цифрою 5, тобто говорить про числа, а не про їх іменах, зустрічаються в цьому реченні; пропозиція "Трикутник - багатокутник "говорить про те, що клас об'єктів, що позначаються терміном "Трикутник", є підкласом класу об'єктів, що позначаються терміном "багатокутник", тобто говорить про об'єкти, імена яких зустрічаються в цьому реченні, а не про самих цих іменах.
2) Принцип однозначності: кожен символ (термін), використовуваний в якості імені, позначає не більше одного об'єкта, іншими словами, кожне ім'я має не більше одного значення. Чому не говоримо, що кожне ім'я має точно одне значення, а говоримо: "не більше одного значення"? Наприклад, стверджуючи, що число а не можна ділити на 0, ми не стверджуємо, що неможлива запис "а: 0"; цей запис настільки ж припустима, як, наприклад, запис "про: 2". Стверджується лише відсутність об'єкта, ім'я якого є мовне вираження "А: 0", тобто цей вислів не є ім'ям якого числа, або це ім'я без значення.
Порушення принципу однозначності має серйозні наслідки, особливо в навчанні, так як це означає застосування імен з більш ніж одним значенням, яке призводить до плутанини і зміщення понятті.
3) Принцип заміни імен: пропозиція не змінює свого істінностного значення, коли одне з вхідних в нього імен замінюється іншим ім'ям, що має те ж саме значення (тобто синонімом).
Різні імена одного і того ж предмета часто порізному характеризують його, за допомогою різної інформації про нього. У такому випадку говорять, що імена мають одне й те ж значення, але різні смисли. Наприклад, одна і та ж пряма може позначатися символом "а" або символом "АВ". Перше з цих іменпростое ім'я, довільно закріплюється за прямий (ми можемо позначити цю ж пряму буквою b), що розглядається як неподільне. Друге ім'я "AB" - складене ім'я, що містить інші імена ("A", "В") в якості своїх частин і володіє будівлею, що відображає той спосіб, яким воно позначає предмет (пряму, що проходить через точки А і В). Цілком зрозуміло, що друге, складене ім'я має більшу пізнавальною цінністю. Воно повідомляє нам, що позначається цим іменем пряма проходить через точки А і В.
Таким чином, у відношенні іменування беруть участь три різних поняття: "Ім'я", "значення імені", "сенс імені". Кажуть, що ім'я називає своє значення і висловлює свій сенс (або що воно має такоето значення і такий-то сенс), а зміст визначає значення.
З сказаного випливає, що треба розрізняти вираження "Не має сенсу" і "Не має значення". Наприклад, в області натуральних чисел ім'я "Корінь рівняння х + 4 = 3" не має значення. У той же час це ім'я має ясний сенс: це таке число, що після підстановки його замість х в дане рівняння ліворуч і праворуч від знаку рівності вийдуть імена одного і того ж числа. Точно так само в області дійсних чисел ім'я "" не має значення, але має сенс (таке число, що після зведення його в квадрат вийде число - 4) або ім'я "2: 0" не має значення, але має сенс (число, яке, будучи помножена на 0, дає 2).
В шкільному викладанні необхідно ретельно стежити за тим, щоб вживані терміни та символи мали певні сенс і значення.
Не всі явні визначення можна віднести до визначень через найближчий рід і видову відмінність. Наведемо приклади:
<...
