обертання кут а, що містить 6t В°, і відміряти від центру уздовж нового положення стрілки відстань r = vt см. Тут ми і наздоженемо жучка (рис. 10.).
Рис. 10.
Очевидно, що співвідношення між кутом повороту a стрілки (у градусах) і пройденою відстанню r (в сантиметрах) буде таке:
r = (va)/6
Іншими словами, r прямо пропорційно a, причому коефіцієнт пропорційності k = v/6.
приладнав до нашого бігунові маленьку, але невичерпну баночку з чорною фарбою і припустимо, що фарба, витікаючи через крихітне отвір, залишає на папері слід від знесеного разом із стрілкою жучка. Тоді на папері буде поступово вимальовуватися крива, вперше вивчена Архімедом (287 - 212 до н.е.). У його честь вона називається спіраллю Архімеда. Потрібно тільки сказати, що у Архімеда не було мови ні про секундної стрілкою (тоді і годин з пружиною не було: їх винайшли тільки в XVII в.), ні про жучків. Ми ввели їх тут для наочності.
Рис. 11. Рис. 12.
Спіраль Архімеда складається з нескінченно багатьох витків. Вона починається в центрі циферблату, і все більше і більше віддаляється від нього в міру того, як росте число обертів. На рис. 42 зображені перший виток і частину другого.
Ви, напевно, чули, що за допомогою циркуля і лінійки неможливо розділити на три рівні частини навмання взятий кут (в приватних випадках, коли кут містить, наприклад, 180 В°, 135 В° або 90 В°, ця задача легко вирішується). А ось якщо користуватися акуратно накресленої архимедовой спіраллю, то будь-який кут можна розділити на яке завгодно число рівних частин.
Розділимо, наприклад, кут АОВ на три рівні частини (рис. 12.). Якщо вважати, що стрілка повернулася якраз на цей кут, то жучок, буде знаходитися в точці N на стороні кута. Але коли кут повороту був утричі менше, то і жучок був втричі ближче до центру О. Щоб знайти це його положення, розділимо спочатку відрізок ON на три рівні частини. Це можна зробити за допомогою циркуля і лінійки. Отримаємо відрізок ON 1 , довжина якого втричі менше, ніж ON. Щоб повернути жучка на спіраль, потрібно зробити зарубки цієї кривої радіусом ON 1 (Знову циркуль!). Отримаємо точку М. Кут АОМ і буде втричі менше кута AON.
Завдання Архімеда
Самого Архімеда займали, однак, інші, більш важкі завдання, які він сам поставив і вирішив: 1) знайти площа фігури, обмеженої першого витка спіралі (на рис. 11. вона заштрихована); 2) отримати спосіб побудови дотичної до спіралі в якій-небудь її точці N.
Чудово, що обидві задачі являють собою самі ранні приклади завдань, що відносяться до математичного аналізу. Починаючи з XVII в., Площі фігур обчислюються математиками за Допомогою інтеграла, а дотичні проводяться за допомогою похідних. Тому Архімеда можна назвати попередником математичного аналізу.
Для першої з названих завдань ми просто вкажемо результат, отриманий Архімедом: площа фігури складає точно 1/3 площі круга радіусу Про А. Для другого завдання можна показати хід її рішення, кілька спростивши при цьому міркування самого Архімеда. Вся справа в тому, що швидкість, з якою жучок описує спіраль, в кожній точці N направлена ​​по дотичної до спіралі в цій точці. Якщо будемо знати, як спрямована ця швидкість, то і дотичну побудуємо.
Але рух жучка в точці N складається з двох різних рухів (рис. 13.): одне - за напрямком стрілки зі швидкістю v см/с, а інше - обертальне по окружності з центром в О і радіусом ОN. Щоб уявити останнє, припустимо, що жучок завмер на мить у точці N. Тоді він буде нестися разом зі стрілкою по колу радіуса ON. Швидкість останнього обертального руху спрямована по дотичній до окружності. А яка її величина? Якби жучок міг описати повну окружність радіуса ON, то за 60 секунд він проробив би шлях, рівний 2л ON [см]. Так як швидкість при цьому залишалася б постійною за величиною, то для її відшукання потрібно розділити шлях на час. Отримаємо:
(2 л ON)/60 = (л ON)/30
[см/с] тобто трохи більше, ніж:
0,1 ON [см/с] (л/30 3,14/30 0,105).
Тепер, коли ми знаємо обидві складові швидкості в точці N: одну по напрямку ON, рівну v см/с, і іншу, до неї перпендикулярну, рівну
(л ON)/30 см/с, залишається скласти їх за правилом паралелограма. Діагональ представить швидкість складеного руху до разом з тим визначить напрямок дотичної NT до спіралі в даній точці.
Логарифмічна спіраль
Криву цю можна було б назвати по імені Декарта, так як вперше про неї говориться в одному з його листів (1638 м.). Проте докладне вивчення її властивостей було проведено тільки через півстоліття Якобом Бернуллі. На сучасних йому математиків ці властивості справили сильне враження. На кам'яній плиті, піднятий на могилі цього знаменитого математика, зображені витки логарифмічної спіралі.
Спіраль Архімеда описує точка, що рухається вздовж променя (В«нескінченної стрілкиВ») так, що відстань від початку променя зростає пропорційно кутку його повороту: r = ka. Логарифмічна спіраль вийде, якщо зажадати, щоб не саме відстань, а його логарифм зростав прямо пропорційно куту повороту. Зазвичай рівняння логарифмічної спіралі записують, користуючись в якості підстави системи логарифмів неперово числом е (п. 25). Такий логарифм числа r називають натуральним логарифмом і позначають In r. Отже, рівняння логарифмічної спіралі записується у вигляді ln r = ka
Звичайно, кут повороту а можна вимірювати і раніше в градусах. Але математики воліють вимірювати його в радіанах, тобто приймати за міру кута відношення довжини дуги кола між сторонами центрального кута до радіуса цієї окружності. Тоді ловорот стрілки на прямий кут буде вимірюватися числом л 1,57, поворот на величину розгорнутого кута - числом л 3,14, а повний поворот, вимірюваний в градусах числом 360, в радіанах буде вимірюватися числом 2 л 6,28.
Рис. 13.
З багатьох властивостей логарифмічної спіралі, відзначимо одне: будь-який промінь, що виходить з початку, перетинає будь виток спіралі під одним і тим же кутом. Величина цього кута залежить тільки від числа k в рівнянні спіралі. При цьому під кутом між променем і спіраллю розуміється кут між цим променем і дотичної до спіралі, проведеної в точці перетину (Мал. 13).
Теорема Паскаля
Б. Паскалю (1623-1662) не було ще й 17 років, коли він відкрив чудове загальна властивість конічних перетинів. Про його відкритті математикам повідала афіша, видрукувана в кількості 50 примірників; тільки два з них дійшли до нашого часу. Кілька таких афіш були розклеєні на стінах будинків і церков Парижа. Нехай читач не дивується цього. Адже тоді (1640 р.) ще не було наукових журналів, на сторінках яких можна було б розповідати іншим вченим про своє відкриття. Такі журнали з'явилися лише через чверть століття, майже одночасно у Франції та Англії. Але повернемося до Паскалю.
Хоча його афіша і була надрукована французькою мовою, а не латинською, як це було тоді прийнято, парижани, видивляючись на неї, навряд чи могли зрозуміти, про що там йдеться. Настільки стисло, без доказів і пояснень викладав молодий геніальний автор свої думки.
На початку афіші після трьох визначень йшла під назвою В«леми 1В» теорема, яку ми перекажемо тут іншими словами. Відзначимо на окружності небудь шість точок, перенумеруем в будь-якому порядку (не обов'язково в тому, в якому вони розташовані на окружності) і з'єднаємо їх відрізками прямих; останній з них зв'яже шосту точку з першої (Рис. 14). Теорема Паскаля стверджує, що три точки перетину прямих, отриманих продовженням цих шести відрізків, узятих через дві: першою з четвертої, другий з п'ятої і третьої з шостої, будуть лежати на одній і тій же прямій.
Рис. 14.
Спробуйте самі зробити декілька дослідів, розкидаючи по-різному точки на окружності (рис. 15).
Рис. 15.
При цьому може статися,...
