ший подібної їй системи (моделі) завжди дорівнює 1. Наприклад,
Якщо відношення констант подібності дорівнює 1, воно носить назву індикатора подібності і вказує на рівність критеріїв подібності.
Отже, у подібних явищ індикатори подібності рівні 1.
Перша теорема подібності вказує, які величини слід вимірювати при проведенні дослідів, результати яких потрібно узагальнити: треба вимірювати ті величини, які входять в критерії подібності.
Друга теорема подібності (теорема Бекінгем-Федерман): рішення будь-якого диференціального рівняння, що зв'язує між собою змінні, що впливають на процес, може бути представлено у вигляді залежності між критеріями К подоби. Такі рівняння називаються рівняннями узагальнених змінних , або критеріальними рівняннями , наприклад
f (К 1, До 2 , К 3 , ...) = 0, (5)
де До 1, До 2 , К 3 - критерії подібності.
Зазвичай критеріальне рівняння записується у вигляді залежності обумовленого критерію подоби від визначальних критеріїв подібності:
До 1 = f (К 2 , К 3 , ...) , (6)
Наприклад,
До 1 = АК m 2 До n 3 (7)
де А, т, п - емпіричні показники.
визначається критерієм є той критерій, в який входить обумовлена ​​величина. Критерії, в які входять величини, що визначають хід процесу ( v , Ој, ПЃ, d е. і т. д.), називаються визначальними .
Якщо небудь ефект в досліджуваному процесі мало впливає на його протікання, то критерії подібності, які характеризують інтенсивність даного ефекту, можуть не враховуватися. У цьому випадку процес по відношенню до цього ефекту і до критерію подібності стає автомодельного , тобто незалежним. У відповідності з цією теоремою результати експерименту, проведеного на моделі, можна представляти у вигляді критеріальних рівнянь.
Третя теорема подібності (теорема Кірінчен-Гухман): явища подібні, якщо їх визначальні критерії рівні.
Наслідком рівності визначальних критеріїв подібності є рівність і визначуваних критеріїв для натури і моделі, тому отриманий на моделі в результаті дослідів критеріальна залежність буде справедлива для всіх подібних процесів, у тому числі і для протікають в промисловій установці. При цьому слід враховувати, що отримані рівняння надійно можна використовувати тільки в тих інтервалах зміни змінних, які були використані при проведенні дослідів.
Таким чином, для дослідження технологічних процесів методом подоби необхідно:
1. вибрати диференціальне рівняння і умови однозначності, описують даний процес; потім шляхом перетворення знайти критерії подібності;
2. дослідним шляхом за допомогою моделей встановити залежність між критеріями подібності; отримане узагальнене рівняння буде справедливим для всіх подібних процесів в межах зміни визначальних критеріїв подібності.
Перетворення диференціальних рівнянь методом теорії подібності проводиться в наступному порядку:
1. кожен з членів диференціального рівняння множиться на відповідні константи подібності до П„ , до v , до l і т.д.;
2. отримані коефіцієнти перед членами рівняння для дотримання тотожності прирівнюються;
3. в отриманих індикаторах подоби константи подібності замінюються відповідними відносинами величин, і отримані комплекси є критеріями подібності.
В табл. 1 наведені основні критерії гідродинамічного подібності, які будуть дорівнюють для подібних точок натури і моделі, якщо вони подібні.
Таблиця 1 - Основні критерії гідродинамічного подібності
Критерій
Вираз критерію
Характеристика критеріїв
Одиниці вимірювання входять до критерії подібності величин
Кінематичний (Критерій Рейнольдса)
Rе = П…l/ОЅ = П…lПЃ/Ој
Характеризує міру співвідношення сил інерції і сил тертя
П… - швидкість, м/с;
l - визначальний розмір, м;
ПЃ - щільність, кг/м 3 ;
Ој - динамічна в'язкість, Па-с;
ОЅ - кінематична в'язкість, м 2 /с;
g - прискорення вільного падіння, м/с 2 ;
р - тиск, Па;
П„-час, з
Гравітаційний (Критерій Фруда)
Fr = ОҐ 2 /gl
Характеризує міру співвідношення сил інерції і сил тяжкості
Гідравлічного опору (критерій Ейлера)
Еu = О”p/ ПЃ П… 2
Характеризує міру співвідношення сил гідростатичного тиску і сил інерції
гомохронності
Але = П… П„/ l
Характеризує нестале рух рідини
Таким чином, диференціальне рівняння Нав'є - Стокса, що описує рух в'язкої рідини, може бути представлено у вигляді критеріального рівняння:
f (Rе, Але, Fr, Еu) = 0 (8)
Рівняння (8) є узагальненим критеріальним рівнянням гідродинаміки. Всі критерії рівняння (8), окрім критерію Їй, є визначальними, так як вони складені з величин, що входять в умови однозначності. Критерій Ейлера, в який входить величина DР, що є метою розрахунку, буде визначеним критерієм.
Тоді
Еu = f (Rе, Але, Fr) або
Еu = AНо з Rе т Fr п , (9)
де А, c, т, п-емпіричні показники.
В ряді випадків рівняння (19) доповнюють геометричним симплексом l / d :
Еu = AНо з Rе т Fr п ( l / < i> d ) b , (10)
де b-емпіричний показник.
При усталеному русі критерій Але виключається з критеріального рівняння:
Еu = ARе т Fr п ( l / d ) < sup> b . (11)
В випадку, якщо швидкість руху рідини не визначена, в розрахунки вводять похідні або модифіковані критерії подібності, складені з основних критеріїв. У цих критеріях подоби невідома величина П… замінюється іншими величинами, які порівняно легко визначаються експериментально або аналітично.
Візьмемо відношення критеріїв Rе і Fr:
(12)
Отриманий безрозмірний комплекс величин називається критерієм Галілея. Якщо помножити цей критерій на відношення , то виходить новий критерій подібності - критерій Архімеда
(13)
де ПЃ 1 , ПЃ 2 - щільності рідини в різних точках, кг/м 3 .
