і довжиною В«1В» паркуються на відрізку де. Перший автомобіль розміщується так, що положення його центру - випадкова змінна, що має рівномірний розподіл на відрізку.
, (a = 1)
Якщо залишається простір для розміщення другого автомобіля, то він паркується так, що його центр - випадкова величина, розподілена на відрізку, з відстанню від першого автомобіля.
Якщо на даному відрізку парковки залишається порожній проміжок довжини, то паркується третій автомобіль. Його центр - випадкова величина, розподілена рівномірно, відстань до розмістилися машин і так далі до кінця відрізка, можливого для паркування.
Позначимо через число машин, що зайняли місце на стоянці. Тоді для та визначено для всіх.
Висновки по чолі
-завдання парковки зводиться до дослідження розподілу цілочисельний випадкової величини при;
-підсумком рішення задачі є те, що при достатньо великих автомобілі заповнюють інтервал на 74,8%.
2. Математичні методи розв'язання задачі парковки
2.1 Рішення задачі парковки
A. Renyi в роботі [1] довів, що математичне очікування.
задовольняє співвідношенню (2.1.1)
де постійна, (2.1.2)
В роботі [2] співвідношення (2.1.1) (2.1.3)
і доведено, що середнє квадратичне відхилення
задовольняє співвідношенню (2.1.4)
де - деяка постійна величина.
Крім того, доведено, що стандартна випадкова величина
має граничне нормальний розподіл з параметрами від (0,1) при.
Доводиться двома способами:
а) всі моменти сходяться до нормальних моментам при;
б) безпосереднє застосування центральної граничної теореми для сум незалежних випадкових величин.
а) нормальний розподіл:
щільність ймовірності
функція розподілу
б) центральна гранична теорема:
Якщо , ... - Незалежно однаково розподілені випадкові величини, і мають математичне сподівання і дисперсію, то при закон розподілу суми: необмежено наближається до нормальному [6]:
Для рішення задачі паркування розглядаються деякі інтегральні рівняння.
Нехай для інтервал буде випадковим інтервалом, зайнятим першою машиною, що встала на стоянку на відрізку довжини. Процес парковки такий, що число машин, які будуть в кінці кінців розміщені від першої, не залежать від кількості машин, які вже розміщені на стоянці. При цьому число машин, розміщених на відрізку, мають розподіл, а число машин на відрізку мають розподіл. Отже, умовне розподіл, за умови, що перша машина займає таке само, як розподіл, де і незалежні, тоді
(2.1.5)
Так як рівномірно розподілено на, то (2.1.6)
і для виконується інтегральне рівняння:
парковка автостоянка математичний оптимізація
, (2.1.7)
Введемо функцію (2.1.8)
Для можна записати більш просте інтегральне рівняння:
(2.1.9)
Початкові умови: при і (2.1.10)
тоді можна визначити послідовно на інтервалах,, ...
Обчислимо на інтервалі:
запишемо рівняння (2.1.9) у вигляді: (2.1.11)
Продифференцируем по: (2.1.12)
зробимо заміну:,
отримаємо:
Розглянемо рішення на інтервалі з початковою умовою:
(2.13)
Знаходимо :
тоді
таким чином на інтервалі.
Аналогічно знаходимо на інтервалі з початковими умовами:,,;
на інтервалі з початковими умовами:,,.
Інтервал :
знаходимо , Враховуючи початкові умови: при
таким чином при
Знаходимо
початкові умови на інтервалі
Підставимо в рішення початкові умови для визначення:
таким чином на інтервалі.
Подальше інтегрування складно.
Використовуючи незалежність і для функції
(2.1.14)
отримуємо співвідношення (2.1.15)
Так як, (2.1.16)
то з виразу (2.1.15) випливає, що (2.1.17)
Нехай (2.1.18)
де , Знайдемо для
(2.1.19)
так як (2.1.20)
то (2.1.21)
інтегруючи, отримаємо: (2.1.22)
2.2 Деякі відомості з теорії ймовірності, використані для вирішення завдання парковки
Співвідношення (2.1.3): і співвідношення (2.1.4):
отримані при використанні теорем.
Теорема 1: нехай визначена для і задовольняє
при (2.2.1) [6]
де - неперервна для і така, що якщо (2.2.2)
,
тоді існує, така, що вважаючи
(2.2.3)
отримаємо
(2.2.4)
Слідство: якщо і задовольняє умові (2.2.1) з
(2.2.5),
то (2.2.6)
Теорема 2: нехай визначена для і задовольняє
, де, тоді
(2.2.7) [6]
Слідство: нехай визначена для і задовольняє
, де (2.2.8)
тоді (2.2.9)
Ці теореми [6] застосуємо до проблеми паркування, так як задовольняє рівнянню, (враховуємо, що з (2.1.9)), де,
(За теоремі 1 неперервна для і така, що в припущенні, ми маємо, тоді існує така, що вважаючи маємо
)
то по теоремі 1 виходить, що:
(2.2.10)
існує, і що для кожного:
(2.2.11).
При з умови, отримуємо, що
(2.2.12).
Так як і наближаються до дуже швидко, то з (2.2.11) виходить гарна апроксимація.
Так як для, то грубе наближення дає
,
отже по теоремі 1 за умови слід
Теорема 3: існує постійна така, що математичне очікування величини задовольняє співвідношенню
() (2.2.13) [6]
Використовуючи формулу Стірлінга, отримаємо
(2.2.14)
Визначимо і:
, де
З умови, при отримуємо
, () (2.2.15),
враховуючи, що - ліва частина виразу (2.2.14), отже
(2.2.15),
таким чином, задовольняє (),
де оцінено формулою (2.2.15).
З цих умови слід
Теорема 4: існує постійна така, що дисперсія величини задовольняє співвідношенню [6].
Розглянемо співвідношення: (2.2.16).
Доведемо, що випадкова величина має асимптотично нормальний розподіл з параметрами при.
Для докази скористаємося двома лемами.
Лемма 1: нехай ненегативна функція, визначена при, обмежена на кінцевих інтервалах і задовольняє співвідношенню, тоді при виконується, де узятий по всьому наборам невід'ємних, при.
Лемма 2: розглянемо таке, що для всіх - незалежних випадкових величин, які задовольняють
(2.2.17)
слід, що функція розподілу наближається рівномірно по до нормального розподілу з нульовим математичним очікуванням і одиничною дисперсією.
Нехай фіксована ненегативна целочисленная функція від, певна при і задовольняє умові і .
Розглянемо Перша машина, знаходяться на відрізку. Позначимо через відстань між 0 і самої лівої машиною;
- відстань між цією машиною і машиною, що стоїть другий зліва і так далі.
- відстань між машиною, що знаходиться на правому краю і. Тоді умовний розподіл, де таке ж, як розподіл при незалежних. Отже, умовне
розподіл одно розподілу, де - незалежне та визначено
За лемі 1, де отримуємо або
(2.2.18) для кожного.
Звідси слід для умовних дисперсії.
Таким чином вірно для для всіх достатньо великих і всіх випадкових. З умови випливає .
Нехай - Подія: таке, що, тоді з умови випливає, що фіксованого виконується і при задовольняє умові.
Визначимо функцію, поклавши та позначимо подію: . Візьмемо і розділимо відрізок на інтервалів однакової довжини, позначених, тоді, якщо умова невірно, приймається, що, по Принаймні, один з інтервалів розбивається по перших припаркованим на стоянку машин.
Імовірність, це менше, ніж та, при [5]...
