Статистика Дікі-Фуллера дорівнює -13,27932. Всі наведені в таблиці критичні значення більше розрахункового, максимальний рівень значущості, при якому можна відхилити гіпотезу випадкового блукання - 0, тому гіпотеза про наявність у процесу характеру випадкового блукання відхиляється.
Закон розподілу отриманого ряду
Як видно з гістограми, що має більш витягнуту по вертикалі форму, ніж характерна для нормального розподілу, і статистичних показників (рис. 5), розподіл отриманого ряду відмінно від нормального: хоча коефіцієнт асиметрії дорівнює 0,6, що близько до нуля і говорить про симетричність розподілу щодо середнього значення, куртозіс дорівнює 11,918, що істотно більше трьох. Оскільки закон розподілу не є нормальним, для перевірки гіпотези про стаціонарність отриманого ряду параметричні тести незастосовні, і необхідно провести непараметричні тести.
Рис. 5. Гістограма розподілу ряду третього кінцевих різниць
Тест Вальда-Вольфовітца на сталість математичного очікування
При проведенні тесту в ряду була виявлена ​​271 серія, найдовша з яких складається з 4 елементів.
Згідно тесту, для того, щоб математичне сподівання ряду було постійним, довжина найдовшої серії повинна бути менше; та кількість серій має бути більше
.
Обидва умови виконуються. Згідно тесту Вальда-Вольфовітца гіпотеза про постійність математичного очікування ряду не може бути відхилена.
Тест Манна - Уітні на сталість математичного очікування
T 1 = 150 - кількість елементів в першій частині ряду;
T 2 = 212 - кількість елементів у другій частині ряду;
R 1 = 26982 - сума рангів, привласнених елементам з першій частині ряду
,
Відповідно до тестом Манна-Уїтні гіпотеза про постійність математичного очікування не може бути відхилена.
Тест Сіджел-Тьюкі на сталість дисперсії
T 1 = 150 - кількість елементів в першій частині ряду;
T 2 = 212 - кількість елементів у другій частині ряду;
R 1 = 26479 - сума рангів, привласнених елементам з першій частині ряду
,
Згідно тесту Сіджел-Тьюкі гіпотеза про постійність дисперсії не може бути відхилена.
Отже, отриманий ряд можна розглядати як стаціонарний.
Економетричні моделі для кінцевих різниць
Ідентифікація моделі
Вивчивши вид автокореляційної і приватної автокореляційної функцій ряду (таблиця 5), отриманого за допомогою кінцевих різниць, можна припустити, яка модель найкращим чином буде описувати процес.
Таблиця 5. Коррелограмми ряду третього кінцевих різниць
Перші два коефіцієнти автокореляції ряду виходять за межі довірчої трубки. Коефіцієнти приватної кореляції, аж до одинадцятого включно також виходять за межі довірчої трубки, а їх значення зменшуються аж до шостого включно.
Таблиця 6. Критичні значення для Q-Stat при рівні значущості 0,05
t
1
2
3
4
5
6
Критичне значення
3,84146
5,99146
7,81473
9,48773
11,0705
12,5916
t
7
8
9
10
11
12
Критичне значення
14,0671
15,5073
16,919
18,307
19,6751
21,0261
Критичні значення, представлені в таблиці 6, являють собою квантиль хі квадрат розподілу рівня значущості 0,05 зі ступенями свободи, рівними кількістю включаються лагів (В«tВ» у таблиці). Всі значення Q-Stat (таблиця 5) для ряду, отриманого з вихідного з допомогою кінцевих різниць, перевищують відповідні критичні значення (Таблиця 6). Це свідчить про наявність автокореляції в отриманому ряду, що дозволить побудувати по ньому модель, де в ролі регрессоров виступають попередні значення ряду або попередні значення помилок моделі.
Подібний вид автокореляційної і приватної автокореляційної функцій (таблиця 5) характерний для моделей ковзного середнього другого порядку.
Оскільки ряд кінцевих різниць має розподіл, відмінне від нормального, критерій Стьюдента для визначення статистичної значущості коефіцієнтів в моделях використаний бути не може.
МА (2)
Таблиця 7. Модель МА (2)
Відповідно до даної моделлю процес описується рівнянням:
S.D. = 2,258957> 0,909794 = SE, тобто модель знижує дисперсію процесу.
Таблиця 8. Автокорреляция залишків моделі МА (2)
Коефіцієнти автокореляції та приватної автокореляції помилки моделі (таблиця 8), за винятком десятого, знаходяться в межах довірчої трубки.
Всі значення Q-Stat (таблиця 8), аж до дев'ятого включно, менше критичних значень. Зокрема, дев'яте значення Q-Stat одно 16,094, що менше критичного значення, рівного 16,919. Тому не можна відхилити гіпотезу про рівність нулю перших дев'яти коефіцієнтів автокореляції помилки.
Десяте значення Q-Stat одно 26,59, що перевищує критичне значення (18,307). Звідси випливає висновок про нерівність нулю хоча б одного з перших десяти коефіцієнтів автокореляції помилки.
Оскільки перші дев'ять коефіцієнтів автокореляції помилки моделі статистично дорівнюють нулю, можна вважати, що вихід за межі довірчої трубки значення десятого коефіцієнта автокореляції помилки викликаний наведеної кореляцією.
Виходячи з виду автокореляційної і приватної кореляційної функцій помилки моделі, а також значень Q-Stat, можна зробити висновок про відсутність автокореляції помилки моделі.
Середнє значення помилки моделі одно -0,026812, що близько до нуля. Середньоквадратичне відхилення помилки одно 0,9081.
Таким чином, помилка моделі являє собою В«білий шумВ».
Таблиця 9. Автокорреляция квадратів залишків моделі МА (2)
Значення не всіх коефіцієнтів автокореляції квадратів помилки (таблиця 9) знаходяться в межах довірчої трубки: зокрема, перше, третє, четверте, дев'яте і десяте значення коефіцієнтів автокореляції квадратів помилки виходять за межі довірчої трубки. Перше значення Q-Stat (9,0138) вже перевищує критичне (3,84146). Отже, не можна прийняти гіпотезу про рівність нулю перший коефіцієнта автокореляції квадратів помилки моделі. Отже, квадрати залишків моделі коррелірованни.
Не можна стверджувати, що саме МА (2) кращим чином описує процес. Тому для порівняння далі будуть розглянуті близькі до МА (2) моделі, що містять один додатковий регрессор: МА (3) і ARMA (1, 2).
МА (3)
Таблиця 10. Модель МА (3)
Процес відповідно до даною моделлю описується рівнянням:
SD = 2,25896> 0,90919 = SD, тобто модель знизила дисперсію процесу.
Таблиця 11. Автокорреляция залишків моделі МА (3)
Всі значення коефіцієнтів автокореляції та приватної кореляції помилки моделі, за винятком десятого, знаходяться в межах довірчої трубки. Всі значення Q-Stat аж до дев'ятого включно м...
