ри - дробову репліку від нього. Якщо лінійне рівняння регресії виявилося неадекватним, необхідно:
1) додати (2 - k) зоряних точок, розташованих на координатних осях факторного простору де - зоряне плече, або відстань до зоряної точки;
2) провести дослідів при значеннях факторів в центрі плану.
При k факторах загальне число дослідів у матриці композиційного плану складе:
(8)
При цьому величина зоряного плеча і число дослідів в центрі плану залежить від обраного виду композиційного плану.
Композиційний план для і представлений в таблиці 1.
Таблиця 1 - Композиційний план другого порядку
Номер досвіду
Фактори
Результат
Ядро
плану
1
2
3
4
5
+1
+1
+1
+1
+1
- 1
+1
- 1
+1
- 1
- 1
+1
+1
0
+1
- 1
- 1
+1
0
+1
+1
+1
+1
-->>
+1
+1
+1
+1
0
Зоряні точки
6
7
8
+1
+1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Центр плану
9
+1
0
0
0
0
0
Аналогічним чином будуються плани і для більшого числа факторів [1].
2.2 Ортогональні центральні композиційні плани другого порядку
У загальному вигляді план, представлений в таблиці 1, неортогонален так як
(9)
Наведемо його до ортогональному увазі , для чого введемо нові змінні (перетворення для квадратичних ефектів):
(10)
при цьому
(11)
Тоді рівняння регресії буде записано як
(12)
Композиційні плани легко призвести до ортогональним, вибираючи зоряне плече. У таблиці 2 наведено значення а для різного числа факторів k і числа дослідів в центрі плану.
Таблиця 2 - Значення зоряних плечей в ортогональних планах другого порядку
Число дослідів в центрі плану
Зоряне плече при різному числі факторів k
(в ядрі полуреплікі)
1
1,000
1,215
1,414
1,546
2
1,077
1,285
1,471
1,606
3
1,148
1,353
1,546
1,664
4
1,214
1,414
1,606
1,718
5
1,267
1,471
1,664
1,772
6
1,320
1,525
1,718
1,819
7
1,369
1,575
1,772
1,868
8
1,414
1,623
1,819
1,913
9
1,454
1,668
1,868
1,957
10
1,498
1,711
1,913
2,000
Зокрема, ортогональний план другого порядку для і представлений у таблиці 3, а його геометрична інтерпретація - на малюнку 3, а.
Представлений на малюнку 3, а і в таблиці 3 прямокутний (квадратний) план експерименту для моделі другого порядку працездатний, хоча і дещо надмірний (9 дослідів для визначення 6 коефіцієнтів). Завдяки трьом надлишковим дослідам, він дозволяє усереднити випадкові похибки і оцінити їх характер.
Таблиця 3 - Ортогональний центральний композиційний план другого порядку
Номер досвіду
Фактори
Результат
Ядро
плану
1
2
3
4
+1
+1
+1
+1
- 1
+1
- 1
+1
- 1
- 1
+1
+1
+1
- 1
- 1
+1
+1/3
+1/3
+1/3
+1/3
+1/3
+1/3
+1/3
+1/3
Зоряні точки
5
6
7
8
+1
+1
+1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
+1/3
+1/3
- 2/3
- 2/3
- 2/3
- 2/3
+1/3
+1/3
Центр плану
9
+1
0
0
0
- 2/3
- 2/3
У цій таблиці
. (13)
В силу ортогональності матриці планування її коефіцієнти дорівнюють:
(14)
Рівняння регресії визначаються незалежно один від іншого за формулами.
Тут i - номер стовпця в матриці планування; j - номер рядка; суми в знаменниках різні для лінійних, квадратичних ефектів і взаємодій.
Дисперсії коефіцієнтів рівняння регресії наступні:
. (15)
Слід особливо відзначити, що коефіцієнти рівняння регресії, одержувані за допомогою ортогональних планів другого порядку, визначаються з різною точністю (див. рівняння (14)), у той час як ортогональні плани першого порядку забезпечують однакову точність коефіцієнтів, тобто план, представлений в таблиці 3, який є ортогональним і забезпечує незалежність визначення коефіцієнтів b, не є рототабельним.
В результаті розрахунків по матриці з перетвореними стовпцями для квадратичних ефектів отримуємо рівняння регресії у вигляді:
(16)
Для перетворення до звичайної форми записи слід перейти від коефіцієнта до коефіцієнта, використовуючи вираз:
